III. 4. Das gleichseitige hyperbolische Paraboloid. 
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Lösung: Man wähle eine Gerade la, zeichne die Orthogonalflucht R, 
nehme II und III in R an und betrachte Iu als Projektionsstrahl von Ilß 
und IJIy. 
Aufgabe: Dieselbe Fläche zu zeichnen, wenn zwei Ebenenhüschel gegeben 
sind, wovon der eine aus Parallelebenen besteht, seine Axe also eine Flucht 
linie ist, während die Axe des anderen senkrecht zu allen Parallelebenen steht. 
Diese Axe fluchtet in den Orthogonalfluchtpunkt. 
Aufgabe: Dieselbe Fläche zu zeichnen, wenn drei Gerade gegeben, wovon 
keine zwei in einer Ebene liegen, aber die irgend eine vierte Gerade IV 
rechtwinkelig schneiden. 
Lösung: Alle drei Geraden flüchten nach Punkten der Orthogonalflucht 
von IV. 
Bei Steiner findet man noch drei weitere Bedingungsarten angeführt. 
Die vorgeführten Beispiele werden hinreichend erwiesen haben, dass Pro 
bleme der synthetischen Geometrie des Raumes einer Zeichnung zugänglich 
sind und dass keine anderen Lehren dazu erforderlich sind, als die von uns 
ausführlich behandelten elementaren Betrachtungen. Insbesondere können die 
schönen Orthogonalsätze, wie sie Steiner in § 53 giebt, ebne Ausnahme in 
plastischen Bildern dargestellt werden. Dasselbe gilt von den zahlreichen Sätzen 
in § 59. Einen der interessantesten Fälle der Beziehung aller Punkte einer 
Ebene auf die einer anderen Ebene hat der Herausgeber dort durch eine 
Zeichnung (Ostwald, Klass. Bdchn. 83, Seite 157) illustriert. Eine sehr empfehlens 
werte Aufgabe besteht in der Zeichnung windschiefer Flächen, wenn zwei be 
liebige Kegelschnitte-im Raume gegeben sind, und eine Gerade, die durch je 
einen Peripheriepunkt heider Kegelschnitte hindurchgeht. Man legt alsdann ein 
Ebenenbüschel durch die Gerade; seine Ebenen schneiden beide Kurven in je 
einem Punkte. Die Verbindungsgerade trifft die Axe in dem zugehörigen Punkte. 
Zeichnet man das Ebenenbüschel, so hat man alle seine Fluchtlinien als Strahl 
büschel im Axenfluchtpunkte I und seine Terrainschnitte als Strahlbüschel im 
Terrainpunkte a der Axe. Beide Büschel sind perspektivisch im Horizonte. Ent 
sprechende Strahlenpaare schneiden sich in entsprechenden Punktepaaren ft, 
und der beiden Kurven. Die Verbindungen ergeben sofort den zugehörigen 
Punkt a auf der Axe. Nur ausnahmsweise entstehen die auch durch projekti- 
vische Beziehung erzeugten Flächen. Wir übergehen diese Aufgaben, um zum 
Schlüsse noch das folgende schöne Problem dem Leser vorzuführen. 
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von Oettingen, Zeichnen.