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algébriquement, il y aura deux cas; ou cette équation sera la moins élevée à 
laquelle elle puisse satisfaire, ou il doit exister une autre de la même forme à 
laquelle elle puisse satisfaire, qui est d’un degré moins élevé, et qui est la plus 
simple. Dans le premier cas, nous dirons que l’équation est irréductible, et 
dans l’autre, qu’elle est réductible. Le problème proposé se décompose ainsi 
en ces deux autres: 
1. ’’Juger si une équation proposée est réductible, ou non.” 
2. ’’Juger si une équation irréductible peut être satisfaite algébriquement, 
ou non.” 
Considérons d’abord le second problème. L’équation proposée étant irré 
ductible, elle est par là, la plus simple équation à laquelle l’expression algébri 
que cherchée pourra satisfaire. Donc pour s’assurer si elle peut être satisfaite 
ou non, il faut chercher l’équation la moins élevée à laquelle une expression 
algébrique puisse satisfaire, et ensuite comparer cette équation à l’équation pro 
posée. De là naît le problème: 
’’Trouver l’équation la moins élevée à laquelle une fonction algébrique 
puisse satisfaire.” 
La solution de ce problème sera l’objet d’un second paragraphe. On aura 
ainsi toutes les équations irréductibles qui pourront être satisfaites algébrique 
ment. L’analyse conduit aux théorèmes suivants: 
1. ”Si une équation irréductible peut être satisfaite algébriquement, elle est 
en même temps résoluble algébriquement, et toutes les racines pourront 
être représentées par la même expression en donnant à des radicaux qui 
s’y trouvent, toutes leurs valeurs.” 
2. ”Si une expression algébrique satisfait à une équation quelconque, on 
pourra toujours lui donner une telle forme quelle y satisfasse encore, en 
attribuant à tous les différents radicaux dont elle se compose, toutes les 
valeurs dont ils sont susceptibles.” 
5. ”Le degré d’une équation irréductible, résoluble algébriquement, est néces 
sairement le produit d’un certain nombre d’exposans de radicaux qui se 
trouvent dans l’expression des racines. 
Ayant ainsi montré comment on peut parvenir à l’équation la moins élevée 
à laquelle pourra satisfaire une expression algébrique quelconque, la marche la 
plus naturelle serait de former cette équation, et de la comparer à l’équation 
proposée, mais on tombe ici dans des difficultés qui paraissent insurmontables.