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A l’aide de ces définitions on établira sans peine les propositions suivan- 
tes, connues depuis long temps: 
1 Une quantité y exprimable entièrement en les quantités « x , ... « n , 
peut être formée par l’addition d’un nombre limité de termes de la forme 
A.a x m i . . . a n m ”, 
A étant un nombre entier et m x , ... m H des nombre entiers en y com 
prenant zéro. 
2. Une quantité y exprimable rationnellement en a 19 « 2 pourra toujours 
se mettre sous la forme 
j;t 
où y x et y 2 sont exprimés entièrement en les mêmes quantités. 
3. Un nombre rationnel pourra toujours être réduite à la forme 
11 
où y x et y % sont des nombres entiers positifs, premiers entre eux. 
4. Une fonction entière y de. plusieurs quantités variables x x , x 2 ,...x n pourra 
toujours être formée par l’addition d’un nombre limité de ternies de la forme 
où A est une quantité constante et m x , .. m n des nombres entiers en 
y comprenant zéro. 
3. Une fonction rationnelle y de plusieurs quantités x x , x 2 ... x n pourra tou 
jours se réduire à la forme 
11 
y 2 
où y x et y^ sont des fonctions entières qui n’ont point de facteur commun. 
Cela posé, il nous reste à déterminer la forme des expressions algébriques 
en général. 
Quelle que soit la forme d’une expression algébrique, elle doit d’abord 
contenir un nombre limité de radicaux. Désignons tous les radicaux diffé 
rents par. 
l A, 
1/7?,, yii„ VU,,... Vit,,, 
et il est clair que la quantité proposée pourra s’exprimer rationnellement en 
ces radicaux et en les quantités connues. Désignons cette quantité par 
Tome second. 
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