XX. 
Sur Véquation différentielle (y -]- s)dy -f- (p -f- qy -{- ry l )d,x = 0. 
C^ette équation peut toujours être réduite à la forme 
zdz -f- (P -f- Qz)dx = 0. 
Pour cet eflet je pose y = « -f- fiz; 
donc dy = du -f- pdz -f- zdft-, donc en substituant: 
(« + s + P 2 ) (da + zdfi+ifidz) -f- {p + q a + qfiz -f- rt? + 2rafiz -f- r(l*z*)dx—0, 
ou bien 
( | a+s^/ | (s + a)dcc + (p + q<x+ ra. 2 )dx 
\ z * $~) az "* & 
+ 2 .(iî± s)d$ + + (g + ’¿rv)dx] ^ . 2 2 = 0. 
Pour que cette équation soit de la forme zdz -f- (P -f- Qz)dx = 0, on doit 
avoir les deux équations suivantes: 
0, 
Z±± = 0 et rdx+ -f- 
Ê P 
donc • a = — ,y et /? = e 
P z=(p — -j- rs 2 ). e^ rdx , Q = ((^ — 2rs)dx — ifo) . e^ rrfT . 
Si donc dans l’équation (y -f- s)dy -j- {p -j- qy + ry 2 )dx = 0, au lieu de 
—frdx 
y on met a -\- ftz ■=. — s -J- z. e J , on obtient 
zdz -f- [(p — qs-\- rs 2 ).e^ rdx -f- (q — 2rs — ~j~)' e ^ rdX - z^dx = 0. 
Donc, si cette équation est résoluble, celle-là l’est de même. Cela a lieu si 
p — qs = 0, 
ou bien si 
q — 2rs 
ds 
dx 
0. 
Dans le premier cas on a