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La somme des premiers membres de ces équations étant égale à Lx— C, on 
en tire, a'—^a — L, a"=^a'—a m =^a" — + ^ etc. 
d’où on déduit, «—1, «'= — T 1 ^, a"—^, a'"= — twu’ Substituant ces 
valeurs on obtiendra: 
z/P=zi(\og rx)= (Lx—C) /1x -j-1JLx. z1x—-l^/t^Lx. /1x -}- ^J 3 Lx. /1x—^^/PLx. z1x -f- etc. 
Pour déterminer la constante C, soit x=l et z/x=l, et l’on aura 
z/(logTx) = logr% — logV\ = 0, de plus L(x) = L(i) = 0, JLx = 1, 
zPLx-. 
: — z/ 3 Zzr=l . .. J n Lx=z^—Ü—; donc 
C= i + 2 V+rV + ••• = 0,577215664901 
et conséquemment. 
log T(x -j- z1x)=log/fc—Jx (0,5772156.. — Lx—^JLx -f- ^/t*Lx — ^z/ 3 Lx -j- ..) 
Si l’on pose Jx — 0,001, on aura 
logr(a? + 0,001)=logr* — 0,0005772156.. -\- T ^(Lx+lJLx~^J‘ i Lx+..) 
Mettant 2—co au lieu de x, on aura 
logr(2-w-0,001) = log r(2 - co)+0,0005772156..- ^^(¿(2_a>) + J JL(2-a) + etc.) 
La fonction L(x) peut aussi s’exprimer par une intégrale définie. Si dans la 
formule (2) ou pose a= 1, et ensuite x=a, on aura: 
Z<1+«)=«— 
l a(fl-l)(a-2) 
3 
1 c(«-l)(«-2)(a-3) , . 
T’ 2.3.4 ^ CC - 
2 . 3 
Considérons le développement de (1—#) a . 
On a (1 - Vf = 1 - «, + a«- + etc, 
on tire de la 
1 - (1 - x) a 
2 
« 
g(g-l) r g(« -l) (g -2) T z etc 
multipliant par dx et intégrant, il vient 
\o S x—J'QZÏL.,lx—C + ax—— etc. =dx. 
Prenant l’intégrale depuis x = 0 jusqu’à x=l on aura 
l a(a-1) | 1 «(«-l)(a-2) 
"ST ô I - -5 
2 «(a-l)(a-2)(a-3) . 
ï *» •» 1 
= /"YM’zLW 
2 1 3 2 . 3 4 2 . 3 . 4 1 J o\ x J 
Or cette série est, en vertu de ce qui précède, égale à L(\-\-a), on a donc 
Ul + a)=flÇ=*=±) d X . 
Mettant 1—x au lieu de x il vient 
/ »1 v a 1 „ 
-—Ldx. 
O X 1