23 
Mettant de plus x‘ y au lieu de x, on aura 
p l , 
L(\-\-a)— a'J où l’on suppose «'>0. 
Posant an’ == m, il vient 
l( 1 -J- —) = a 1 j — x*r' dx 
V a'/ J ox a '—1 
Cette expression conduit à ce théorème remarquable. 
Théorème. ’’Lorsque y est une quantité rationnelle quelconque, la fonc- 
”tion L(y) peut toujours s’exprimer par des fonctions algébriques, logarithmi- 
”ques et circulaires.” 
En effet ayant 
lÇî —(— ~ a J lorsque «> 0, 
. et LÇl —= a:/ .x*~'dx lorsque «< 0 
P x m 1 
il est clair que 1 intégrale J —— x*-'dx, pour des valeurs entières de m et 
de a, est intégrable par des fonctions algébriques, logarithmiques et circulaires. 
Or 1 -j- ~ peut, pour des valeurs entières de m et de a signifier une quantité 
rationnelle quelconque; donc le théorème énoncé est démontré. 
Soit m = 1 eta = 2; on aura L{1 -}- l)=2 / — dx =2— 2 log 2, ce que 
U o\+x 
nous avons trouvé plus haut par un procédé différent. 
Soit m = 1 et e = 3: on aura Z(l-f 1) = 3 f X ~-- d . x . =3 — 3 
V 1 i ’ J ol+ W 2 J o l+o:+^ 2 
d’où l’on tire L(\.-\-^)=z3— log3——^ • 
Revenons à l’expression générale lÇ 1 -j- —^ — a J* ,x*-'dx. Or 
l’intégrale f X J~\ ' x * 'dx se divise en deux parties, savoir, 
/ x m+a-\dx P X a ~ l dx P X m + a ~ l dx 1 ]q 0 . ( x <i 
x a —1 J x a —1 J x a —1 a & 
il reste donc à trouver l’integrale /^—t—. dx. 
® J j 
On a 
X a 
v*Til— 1 
x a 1 
.r m_1 -j- — a —et par conséquent 
/ V«+«-i , x m , Px m ~ 1 dx 
-_-.rfx = _+ ( y_ ï:rr .