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Si la série va à l’infini, on a F(0) = ——, et par suite 
Les quantités constantes, dues aux intégrations successives, dovient être 
des valeurs particulières des fonctions F(0), F( 1), F(2)... F(a). 
Ayant ainsi déterminé les fonctions f(a) et F(a), on en tirera aisément la 
somme de la série proposée 
cp{0)-{-(p(i)æ-}-(f(2)x' 2 -\-(p(3)x 3 -j- ... -f- <p(ri).x n . 
Le procédé, dont on a fait usage pour trouver la somme de cette série 
à l’aide de la série 1 x -|- + -f-a? n , peut aussi servir à la détermination 
de la somme de la série , , 
z =f(ty • <P(0) + fW • <?(1) • x + f(2). y (2). z* + ... + f(n) •(f(n).a; n 
à l’aide de la série 
fW+fWx+ffflix* + • * • + f(n)x u > 
où f(ri) signifie une fonction quelconque, et cp(n) une fonction rationnelle. En 
effet la série z est résoluble en plusieurs séries de la forme 
3 f< ./*(3) .x* -j- • • •+ n a .f(n) .a? n ), 
et 
if (/(0)_L /(!)•* _■ №•** , /(»).*»'Y 
a u (a+lf («+2f ”* (a+rcf ' 
Si l’on pose /*(0) -f- /"( 1 )^’ —j— /*(2). lx- 2 —{— ... -f- f(ri)x n =s, on trouvera pré 
cisément de la même manière que ci-dessus 
f{i)x+Z“.f(2) .**+S a .f[3). x* +. - - + n".f(n). x“= *-A*.d(x.d(x... d(s.dt)...))) 
dx" 
m i /(i) 
№L.x4- /(?!-■ x"=— f— ■ f— ...f—.fdx.x"- 1 .ds. 
o+l )“ (o+2f (a+nf x‘J x J x J x ■> 
Soit p. ex. s=e*=l + x+^--\- ^- + -^4 +••• 
on aura 
Ì + -L _L JL J- .. .=. JL fdx .x a ~ l . é* 
a a+1 2 a+ 2 2.3 «+3 x® J 
e x ( x («-!) , (a-l)(«-2) (fl-l)(a-2)(fl-3) , A , c 
V * ' x 2 x 3 ‘ ‘ 7 ' x a " 
x