donc 
En différentiant l’équation (3) on aura: 
■~j— —f 6 *”' vfvdv 
=z V ^ V ~ v/Jipx 
fg{vfv) ■= fg(vDcpx) 
_ dqx \ 
dx 
(9) 
De la même manière on aura en différentiant l’équation (5) n fois de suite 
-■ y x ~ = fe vx . v n . fvdv 
dx n J 
donc r 
D ( d n <çx > 
V dx n ) 
fg(v u fv) = 
(=v n . fv=v n . D(px | 
-fg(v"Dcpx) — J, j 
(10) 
De même: 
D. (J n (fxdx n ) = v~ n . fv=v~ n . D.cpx j 
fg{v~ n fv) = f/j(v~ n D(f x) =J n (fxdx n j 
(11) 
(12) 
En prenant la différence finie de l’équation (3) n fois de suite, on aura: 
J n a q)X = fe vx (e vu — 1 ) n . fvdv, 
en désignant par a la différence de x\ 
donc : D. J u n (px — (e va — 1 ) n . fv 
fg ((e va — 1)”. fv) = /Ja<$x ( 
IJ. Z a n (<fx) — (e vu —1 )~ n .fv 
fg{{e Vtt — 1 )~ n -fv) = 2 a n (fx 
On trouvera entièrement de la même manière: 
D. (J« n J a* 4,”".. • d m (f(x-}-p)) = e v P. V m (e va —l) n (e VC( ’—l) n ' (e vtt "—\) n \. .fv 
fy(v m (e VK — 1 ) n (e v(t ' — 1 ) n '(e va " — 1 ) n "...e v P) = A a n A a r' ...d m y{x-\- p) 
Soit en général 
■)(' t x) = A„, x d n y(*+v-) |_ j «■). 
I A » | 
dx n * M '' K ' * dx' 
(13) 
(11) 
on aura 
d(<px) == fe v *.fv{A nta .v n e va +A M , c ,.v n '.e'’“'+.. .)dv, 
donc D(âcpx) = fv. (A nia . v n e vtt + A n , ltt .. v n '. e vu ' +...). 
Soit A Mi „.v n e va + A n ,, a ..v n ‘. e v “' +... = y(v) (13) 
on aura D(ô(px)=.ip(v).fv = 'ty(v).Dcpx (13) 
Soit de même D(d i fçx) = 'tp 1 (v).Dcpx^ 
D(ô 2 (px) = %(v). D(px ( j 
D(ô u (fx) — ^ /i (v).D<px /