Definition der Irrationalzahlen. 
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überzeugt man sich zuerst ohne Mühe, dass dann auch sowohl 
die beiden Zahlenreihen 
a 3 + a 3> ' • ' 
&3 4“ ß 3 > ' ' • 
«3 /^3> ' ’ ' 
h a 3> * * * 
als auch endlich die beiden Reihen 
i a i a 1 , a 2 cc 2 , a 3 cc 3 , • • • 
\b l ß l7 b 2 ß 2 , b 3 ß 3 , • • • 
je zwei gegen einander convergirende Zahlenreihen sind. Um 
dies z. B. von der letzten zu zeigen, so folgt aus den cha 
rakteristischen Ungleichheiten, nach welchen 
bi bi-j_i di 
ßi ßi -f-1 &i-f-1 ^ di 
ist, um so mehr auch 
bißt ^ h_j_i ßi-j-i ttiUi 5 
und da — a* und /3 £ — ui mit wachsendem Index i unter 
jeden Grad vorl Kleinheit herabsinken und 
hßi — ttitti = b t (ß t — ai) -f- ^(bi — eit) 
gesetzt werden kann, so gilt dasselbe von bißi — weil 
di, bi endlich, jenes nämlich stets zwischen a, und ß u dieses 
zwischen a l} b t enthalten bleiben. Diesem zufolge sind die 
gedachten zwei Zahlenreihen (11) gegen einander convergirend. 
Hiernach wollen wir nun die Grenzwerthe der drei Paare 
gegen einander convergirender Zahlenreihen (9), (10), (11), 
d. h. die — nach unserer Festsetzung — ihnen entsprechenden 
Zahlen resp. als Summe, Differenz und Produkt der beiden 
Zahlen z, £ definiren, also setzen: 
6. Es ist leicht einzusehen, dass diese Definitionen der 
Forderung genügen, auch in dem Falle giltig zu bleiben, dass 
(9) 
a i 4“ a i> a 2 4" a 2> 
\ 4- ßi, h + ß-2 > 
als auch die beiden Reihen 
a i ßl) a 2 ß2> 
(10) 
&1 — d 1} b 2