Uneigentliches Integral und Untersummen 129 
Tatsächlich sind wir früher hei der Bestimmung der Inhalte von Flächen 
der hier in Rede stehenden Art meistens in der geschilderten Weise vor 
gegangen. Wir stellen die dabei erzielten Ergebnisse hier noch zusammen: 
7t 
2 
J*tg c • de 
0 
ohne Bedeutung (zehnter Ab 
schnitt, Nummer 1, S. 72), 
h 
0 
ohne Bedeutung (fünfzehnter 
Abschnitt, Nummer 5 c), S. 121), 
r de 
J f/l-c 2 
0 
7t 
~ (sechster Abschnitt, Num 
mer 3, S. 34), 
2 
1 de 
J cos 2 e 
0 
ohne Bedeutung (zehnter Ab 
schnitt, Nummer 4, S. 76). 
2. Wir wollen prüfen, ob ein uneigentliches Integral erster Art auch 
mit Hilfe einer Annäherung durch Rechteckfiguren ausgewertet werden 
kann, wie das bei den früheren — eigentlichen — Integralen möglich war. 
Zu diesem Zwecke nehmen wir wieder a < b und f(x) > 0 für a< x< b 
an. f(x) wachse bei Annäherung von x an b über alle Grenzen. Das 
b 
Zeichen ff(c) • de — J habe einen Sinn. Nun kann zunächst festgestellt 
a 
werden, daß der Begriff „umbeschriebene Rechteckfigur“ und deshalb der 
Begriff „Obersumme“ hier ihre Bedeutung verlieren. Denn wird das Inter 
vall von a bis b unterteilt, so läßt sich offenbar zu dem letzten Teilintervall, 
dessen rechter Endpunkt b ist, kein umbeschriebenes Rechteck bilden, und 
dies gilt, wie klein auch dieses Teilintervall sein mag. Während aus einem 
ähnlichen Grunde auch Rechteckfiguren keinen Sinn mehr haben, bei denen 
die Höhen der einzelnen Rechtecke zwischen dem Maximum und dem Mi 
nimum von f(x) in dem betreffenden Teilintervall liegen, kann man jedoch 
noch von „einbeschriebenen Rechteckfiguren“ und daher von „Untersum 
men“ reden. Denn auch im letzten Teilintervall besitzt die Funktion f(x) 
nach dem elften Abschnitt, Nummer 5, S. 86, ein bestimmtes Minimum. 
Wir behaupten nun, daß die zu einer zulässigen Folge von Einteilungen 
gehörige Folge von Untersummen gegen J strebt. Dies ist die genaue 
Übertragung des entsprechenden Ergebnisses bei eigentlichen Integralen 
auf uneigentliche Integrale erster Art. 
Zum Beweise zeigen wir zunächst, daß keine Untersumme U größer als 
J ist. Es muß vielmehr stets U ^ J sein. Es sei E eine beliebige Ein 
teilung, U die zugehörige Untersumme und x n eiue monoton gegen b kon 
vergierende Folge, die wir nur insoweit betrachten, als ihre Punkte dem 
Reinhardt, Höh. Mathematik 9