§ 229. Die zur Schwarzseher! Fläche konjugierte Minimalfläche. 417 
§ 229. Die zur Schwarzseher! Fläche konjugierte Minimalfläche. 
Hinsichtlich der konjugierten Fläche, die Schwarz ebenfalls unter 
sucht hat, bemerken wir kurz, daß auch sie bemerkenswerte Eigenschaften 
besitzt, die denjenigen der in den vorangehenden Paragraphen behan 
delten Fläche ganz analog sind 1 ). Insbesondere werden wir sehen, 
daß auch diese neue Minimalfläche S' in unendlich viele kongruente 
krumme Vierecke mit geradliniger Begrenzung zerfällt und daß in jedem 
endlichen Gebiet des Raumes nur eine endliche Zahl solcher Vierecke 
liegt. Betrachten wir auf der ursprünglichen Fläche S zwei von den 
krummen Vierecken, die längs einer Kante AB Zusammenstößen, so 
begrenzen die vier Symmetrieebenen der beiden Vierecke auf dem von 
ihnen gebildeten Sechseck ein neues Viereck, dessen Seiten gleichlange 
Bogen ebener geodätischer Linien sind und dessen Winkel in zwei 
Gegenecken je 60°, in den beiden anderen je 90° betragen. Nun geht 
auf der konjugierten Fläche S' dieses Viereck in ein solches mit gerad 
liniger Begrenzung über. Daher liegen auf der Minimalfläche S' 
unendlich viele krumme Vierecke mit geradliniger Begren 
zung, deren Seiten gleiche Länge haben und deren Winkel 
in zwei Gegenecken je 60° und in den beiden anderen je 90° 
betragen 2 ). 
Hiervon ausgehend können wir, ganz analog wie in den vorauf 
gehenden Paragraphen, diejenige Bewegungsgruppe bestimmen, welche 
die Fläche S' immer wieder hervorbringt, und also die analytische 
Fortsetzung jedes krummen Vierecks von S' untersuchen. 
Es sei AB CD ein solches Viereck, dessen Winkel bei A und C 
je 60°, bei B und D je 90° betragen; wir wollen dann die Seiten AB, 
BC, CD, DA mit 1, 2, 3, 4 und die Spiegelungen an diesen Seiten 
bezüglich mit S 1} S 2 , S 3 , $ 4 bezeichnen. 
Durch Kombination dieser Elementarbewegungen können wir von 
diesem Viereck zu jedem anderen auf der Fläche gelangen. Wollen 
wir also die Elementaroperationen der Gruppe G, welche die Fläche 
ungeändert läßt, erhalten, so brauchen wir zu den vorhin genannten 
Bewegungen nur noch diejenigen hinzuzufügen, welche das Viereck 
AB CD ungeändert lassen. 
1) Ihre Gleichungen ergeben sich aus den Formeln (8), S. 403, wenn von den 
Integralen rechts statt der reellen Teile die Koeffizienten der imaginären Teile 
genommen werden. 
2) Um ein solches Viereck zu erhalten, braucht man nur zwei Seitenflächen 
eines regelmäßigen Oktaeders, die längs einer Kante aneinanderstoßen, zusammen 
zunehmen und die gemeinschaftliche Kante wegzudenken. 
Bianchi, Differentialgeometrie. 2. Aufl. 
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