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mit ei- 
lch e ge 
leisten 
Genüge leistet. — Die Auflösung dieser vier Gleichungen bietet 
vier verschiedene Probleme dar, welche wir der Reihe nach auf 
lösen wollen. 
Aufgabe 1. Es soll die Function cp (x) also 
bestimmt werden, daß sie zwischen zweien beliebi 
gen Grenzen von x stetig ist, und daß man für alle 
reellen Werthe der Veränderlichen x und y bestän 
dig hat 
(1) cp (x + y) = cp (x) + cp (y). 
Auflösung. Wenn man in der Gleichung (1) successive 
y -J- z für y, z + u für z etc substituirt, so erhält man 
<p (x -J- y -j— z -J- u . . .) 
— cp (x) + cp (y) + cp(z) + cp (u) + etc. 
wo die Anzahl der Veränderlichen x, y, z, u... nichts zur 
Sache thut. Wenn man ferner diese Anzahl durch in bezeich 
schaffenheit, 
nen irgend- 
oder des 
net, unter « aber eine constante Größe versteht, und hierauf 
x = y ■= z = u ... . = a 
setzt, so verwandelt sich die letzte Formel in 
gendwelche 
mt, so ist 
t gewissen 
immerhin 
ian diesen 
gesuchten 
ine stetige 
n wollen, 
a Werthe 
cp (intt) = mcp («). 
Soll diese letztere Formel auch den Fall in sich begreifen, wo 
ein Bruch , oder sogar eine beliebige Zahl an die Stelle der 
ganzen Zahl -n tritt, so wird man im ersten Falle 
„ rn 
ß — — « 
setzen (wo in und n zwei ganze Zahlen sind), und erhält dann 
n ß = in «, 
ncp (ß) = in . cp (a), 
cp (ß) = a) = ~<p{u). 
> y, -einer 
Gesetzt, sei veränderlich und nähere sich einer beliebigen Zahl 
so wird man, wenn man diese Grenze nimmt, erhalten 
. 
cp {(-La) — (.icp («). 
Setzt man nun a — 1, so erhält man für alle positiven Werthe 
V0N (.(,