128 
Man weiß, daß durch die Formeln 
cos. (a + b ) = cos. a . cos. b — sin. a . sin, b, 
sin. ( a -¡- b ) = sin. a . cos. b -j- cos. a . sin. b 
Sinus und Cosinus des Bogens a + b als Functionen der 
Bogen a und b gegeben sind. Wollte man sich aber nicht die 
Mühe geben, diese Formeln zu behalten, so gäbe es ein sehr 
leichtes Mittel, sie wiederzufinden, so oft man ihrer bedarf. 
Gesetzt nämlich, man multiplicirt die beiden symbolischen 
Ausdrücke: 
cos. a -f- /—1. sin. a, 
cos. b -j- ]/—1 . sin, b 
mit einander nach den bekannten Regeln für die algebraische 
Multiplication und behandelt dabei j/^T wie eine reelle Größe, 
deren Quadrat — 1 wäre; so wird das Product aus zwei 
Theilen bestehen, von welchen der eine ganz reell ist, der an 
dere dagegen den Factor ÿ—i hat. Der reelle Theil gibt als 
dann den Werth von cos. (a-f-b), der Coefficient von 
aber den Werth von sin. (a + b). 
Man findet also 
OOS. (a + b) -¡- j/—-1 . sin, (a —|— b) 
— (cos. a + j/— 1 sin. a) (cos. b + j/—l sin. b). 
Die drei Ausdrücke, welche diese Gleichung enthalt, nämlich 
cos. a + i/—1 sin. a, 
cos. b + j/dj sin. b, 
cos. (a+b) + |/ZHi sin. (a-{-b) 
sind drei symbolische Ausdrücke, welche, nach den allgemein an 
genommenen Bezeichnungsarten in Worte übersetzt, gar keinen 
Sinn haben. Man hat sie imaginäre Ausdrücke (unmögliche 
Größen) genannt. Auch die Gleichung (2) selbst hat keinen 
Sinn, wenn sie buchstäblich genommen wird. Sollen sich aus 
ihr genaue Resultate ergeben, so muß zuvörderst ihr zweiter Theil 
durch die algebraische Multiplication entwickelt werden, wodurch 
sich die Gleichung in folgende verwandelt: