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l-J-z cos.0-J-z 2 cos.20-|-etc. 
■ z cos, 0 
(10)/ 
1—2 z cos.ö-f-z 2 
z sin.0-J-z 2 sin.20-f-z 3 sin.30-}-etc...= 
z sin. 0 
fciü- 
l-2zcos. 0-(-z 2 
Die Substitution eines imaginären Werthes für x fährt 
demnach bei der geometrischen Progression 
1, X, X 2 , x^ , . . . . , X 22 , CtC. . . . 
auf die Summirung der beiden Reihen 
(11) ^ ^' zcos -®i z * cos.20, ,z n cos.n$, etc.,.., 
| z sin. 0, z 2 sin. 2 0, , z n sin. nÖ, etc,..., 
vorausgesetzt, daß z zwischen den Grenzen 
Z — — 1, z — -j- 1 
liegt, d. h., vorausgesetzt, daß, die beiden Reihen convergiren. 
Die ersten Theile der Gleichungen (10) sind nach Cap. 6. §.1., 
Lehrs. 1., in der Nahe eines jeden zwischen den Grenzen z =— 1, 
z = + 1 liegenden Werthes von z stetig, mithin ist es auch 
der erste .Theil von (9) in der Nahe eines solchen Werthes. 
Dieser erste Theil von (9) ist aber nichts anderes, als die 
Summe der Reihe (5). 
Verallgemeinert man die so eben gemachten Betrachtungen, 
so erhalt man folgenden Satz. 
Lehrsatz 1. Sind die verschiedenen Glieder 
der Reihe (3), in der Nahe eines besonderen Wer 
thes von z, für welchen die Reihe convergirt, ste 
tige Functionen von z, so ist die Summe der 
Reihe s, in der Nahe desselben Werthes, ebenfalls 
eine stetige Function von z. 
Beweis. Die Reihe (3) kann in der That nur dann 
in der Nahe eines besonderen Werthes von z convergiren, und 
ihre Glieder können nur dann in dessen Nahe stetige Funtionen 
von z sein, wenn dieses bei den reellen Reihen (1) und (2) 
der Fall ist. Da aber in diesem Falle eine jede der beiden 
Summen 
Po + Pi + Pa, + etc 
9o *+* +9 2 t +etc