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wo k eine beliebige ganze Zahl bedeutet. Die erste von diesen 
Formeln gilt auch für alle reellen und positiven, die zweite hinge 
gen für alle reellen und negativen Werthe von x. 
Wir wollen nun, nachdem wir die verschiedenen Logarith 
men von x — « + /?i gefunden haben, die imaginären Bogen 
aufsuchen, deren Cosinus x ist. Bezeichnet 
arc. cos, ((x)) = u -}- vi 
einen dieser Werthe, so hat man, um u-f-vi zu bestimmen, 
die Gleichung 
cos. (u + vi) = a-\-ßi t 
oder, was dasselbe ist, die Gleichung 
, gnN e v -f-e~ v J (e v — 
(39) 2 - cos - u 2 .sin. u.i=a-f./9i 
zu betrachten, welche in zwei andere zerfallt, und zwar in 
e v -f- e“ 
(40) 
. cos. u = « 
-. sin. u 
ß- 
2 ; i" 2 
Für die letztem kann man -die beiden Formeln 
(41) e v = —— J~, e~ v ——— 
cos, u sin. u cos. u ' sin, u 
in die Rechnung einführen. Eliminirt man ferner v aus den 
Formeln (41), so erhält man successive 
COS. u 2 sin. u" 
sin. u 4 — (1 — a 2 —ß 2 ) sin. u 2 — ß 2 = 0; 
ferner, da sin, u 2 nothwendigerweise positiv ist, 
1—tt 2 — ß 2 . /r/1—a 2 —/? 2 \ 2