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mît dem lineären Factor x-j-h, so wird durch diese 
Multiplication das Maximum der Abwechselungen 
zwischen den Coefsicienten der absteigenden Po 
tenzen von x nicht vermehrt. 
Beweis. Multiplicirt man (110) mit x-j-h, so er 
halt man ein Polynom, in welchem die Coefsicienten der ab 
steigenden Potenzen von x respective 
(111) a 0 , “}" h a Q , “f" h , “ • • t a m H” h a ni—£, ha m 
sind. Man darf also nur beweisen, daß die Anzahl der Ab 
wechselungen beim Uebergange von der Reihe (109) zur Reihe 
(110) nicht zunimmt, wenn man in beiden Reihen für diese 
Anzahl das Maximum nimmt. Zuvörderst wird, wenn die 
Zeichen der Glieder, welche Null sind, nach der obigen Regel 
bestimmt werden, jedes Glied der Reihe (111) 
a n + h a n—1 
entweder das Zeichen von a n , oder das von a^__i (kn (109)) ha 
ben. Diese Behauptung ist gleich einleuchtend in den beiden 
Fallen, welche hier eintreten können, also 1) wenn die Glieder 
a Ji-i, a n entweder ursprünglich, oder nach der oben angenom 
menen Regel mit entgegengesetzten Zeichen behaftet sind; 2) wenn 
a n und a n _i von Null verschiedene Werthe und zugleich einerlei 
Zeichen haben. 
Haben daher die Größen 
(112) 
lia o, ha ] 
ha 2 ,. . .. ha m —i, liSj. 
mit den correspondirenden Gliedern der Reihe (109) einerlei 
Zeichen, so kann man ohne die Aufeinanderfolge der Zeichen 
in der Reihe (111) zu ändern, jedes Binom von der Form 
a n + h a n—1 
durch eins der beiden Monomien a n/ ha^ ersetzen. Verfährt 
man also, so erhält man eine neue Reihe, in welcher auf jedes 
Glied von der Form a n ein anderes folgt, welches entweder gleich 
a n+ i oder gleich ha n ist, während auf das Glied von der 
Form ha,i entweder ha n+1 oder a n+2 folgt. Man unter 
scheide nun in der neuen Reihe 1) jedes Glied von der Form 
a n, auf welches ein Glied von der Form ha^ folgt; 2) jedes 
Glied von der Form ha^, auf welches ein Glied von der Form 
a n+2 folgt, und es seien respective 
a s, ha u , a v 
die verschiedenen Glieder beider Arten, geordnet nach der Größe 
der Indices, mit welchen der Buchstabe a behaftet ist. Die 
neue, aus Monomien bestehende Reihe, 
*y, ha w , etc.