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Qo > 
Qi / 
2% 
etc., 
Q o • 
P x / 
q\> 
etc., 
Q"o f 
etc. . 
ft 
Q i / 
Q" 2 , 
etc., 
Lehrsatz 1. Die doppelte Reihe (1) sei conver- 
girend, und ihre Summe sei 8, so convergiren die 
Reihen (3) und (4) gleichfalls, und die Summe 
einer jeden von ihnen ist 8. 
Die Zahlenwcrthe der in (1) vorkommenden Größen seien 
respettive 
(5) 
Wenn man eine beliebige Anzahl von denjenigen Gliedern von 
<1), welche nicht in (2) vorkommen, addirt, so ist die Summe 
«ffenbar kleiner oder höchstens gleich (abgesehen vom Zeichen) 
der Summe der correspondirenden Glieder von (5). Wenn 
daher diese letztere Summe für unendlich große Werthe von m 
rrnd n unendlich klein ist, so muß dies um so mehr bei der 
ersteren der Fall sein. Wenn also die doppelte Reihe (5) con- 
vergirt, so ist dies auch bei (1) der Fall. Ich bemerke noch, 
daß man sich von der Convergenz der doppelten Reihe (5) voll 
kommen überzeugt halten kann, wenn 1) die Horizontalreihen 
von (1) convergiren, und wenn 2) auch ihre Summen, d. h. 
! Qo + Qi+i> 2 + etc., p'o + (/, +e' 2 +etc. ; 
C"o + Q" i + Q" 2 + etc -/ 
etc 
eine convergirende einfache Reihe bilden. Denn es sei e eine 
beliebig kleine Zahl, so kann man m immer so groß anneh 
men, daß die Addition der Summen 
k? oi 2 (m )+etc., qo 2 (“-H-Lj-etc., 
etc , 
mithin auch die der Glieder von (5), welche mit einem Index 
behaftet sind, der größer oder höchstens gleich m ist, niemals 
ein Resultat liefert, welches größer als ? e wäre. Ist ferner 
die Zahl m auf diese Weise bestimmt, so kann man auch, da 
jede Horizontalreihe in (5) convergirt, n so groß annehmen, daß 
eine jede der Summen 
Qn + £n+l + Qn+z + 6tc. , 
Q*n + (*n+l + (n+2 etc -' 
9n (m “ 1> +?n+l (n| - 1) P + n+2 (m ~ 1) + etc. !