TANGENTE A UNE COURBE PLANE. 
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taie Mil ou avec Taxe parallèle Ox des abscisses. Dire que ce rapport 
ne varie plus sensiblement lorsque \x, déjà suffisamment petit, tend 
vers zéro, ou lorsque le point M' se rapproche de M, c’est donc dire 
que toutes les très petites cordes émanées de M ont presque la 
même direction ou que, prolongées indéfiniment, elles tendent vers 
une certaine droite limite, vers une tangente, à mesure que leur 
second point d’intersection M' avec la courbe se rapproche du pre 
mier M. 
Ainsi, la propriété, que possèdent les courbes, d’avoir en chacun de 
leurs points une tangente, ou une direction déterminée, n’est pas 
autre chose qu’une forme géométrique du principe de la graduelle va 
riation des fonctions et, par suite, de celui de la continuité relative 
des choses. 
Comme tous les rapports, j -, d’accroissements partiels simultanés k 
et h compris dans Ay et dans \x (mais d’ailleurs quelconques), diffèrent 
de moins en moins de à mesure que isx se rapproche de zéro, le 
rapport —- tend à devenir, à la limite, la pente non seulement d’une 
corde, mais de tout son arc, qui, ainsi, au moment de s’annuler, est 
infiniment près d’affecter dans ses diverses parties, aussi nombreuses 
encore, que l’on voudra, une direction unique parfaitement déter 
minée; et, quoique corde et arc se réduisent enfin au seul point M, 
néanmoins, en vertu du principe de continuité énoncé vers la fin du 
n° 3 ( p. 5), il subsiste alors d’eux cette direction, qu’ils impriment, en 
disparaissant, à la tangente MT. Aussi dit-on indifféremment que la 
dérivée y 1 est la pente soit de la tangente MT, soit de la courbe au point 
M; et l’on peut, par extension, appeler pente d'une fonction sa dé 
rivée. 
Quand T'axe Or devient oblique sur Ox, le rapport ^ et sa limite 
y 1 cessent d’être, pour la corde MM' ou pour la tangente MT, ce qu’on 
appelle la pente; mais ils continuent à en être le coefficient angulaire, 
rapport constant des deux accroissements variables qu’éprouvent le 
long de la droite considérée, à partir d’un point, M {x, y) par exemple, 
de celle-ci, l’ordonnée et l’abscisse. Si donc ¿c, et y l désignent les 
coordonnées courantes de la tangente, c’est-à-dire celles d’un point 
quelconque T qui s’y trouve situé, il viendra toujours, pour l’équation 
de cette droite, 
Y i 
x 
ou 
Y\—y = y{B X — x).