138 Erster Teil. Differential-Rechnung. 
Dritter A 
Die Gleichungen (19), (21) sind das Resultat der par 
tiellen Differentiation von (18) in bezug auf x, respektive y. 
Differentiiert man sie, von denselben Grundsätzen Gebrauch 
machend, die erste wieder nach x, die zweite nach y, endlich 
die erste nach y oder die zweite nach x, so kommt man zu 
den Gleichungen: 
(23) 
ay „ d 2 f dz d 2 f (dz\ 2 df d 2 z 
dx 2 ‘ dxdzdx' dz 2 \dx) dz dx 2 
d 2 f 9 d 2 f dz ay (W d£ d*z 
dy 2 ' dydz dy ' dz 2 \dy) ' dz dy 2 
d 2 f d 2 f dz d 2 f dz_ d 2 f dz_dz_ dl d 2 z 
dxdy'dxdz dy' dydz dx' dz 2 dxdy' dzdxdy 
die wieder unter der Bedingung -|^=|=0 und in Verbindung mit 
d 2 z 
(20) und (22) die Differentialquotienten zweiter Ordnung , 
, -S-i- zu berechnen gestatten. 
dy 27 dxdy ° 
Die Werte x, y, z, die in den Gleichungen (20), (22), (23) 
auftreten, haben der Gleichung (18) zu genügen. 
61. Beispiele. Die Durchführung des eben entwickelten 
Verfahrens soll an den folgenden Beispielen erklärt werden. 
1) Die Gleichung 
ax 2 -f- l>y 2 + cz* = li 
bestimmt z als zweideutige Funktion von x und y, die ohne 
weiteres auch in expliziter Form gegeben werden könnte; die 
Differentiation gestaltet sich jedoch in impliziter Form ein 
facher und übersichtlicher. Es lauten die Gleichungen (19), 
(21), (23) im vorliegenden Falle wie folgt: 
i dz A 
ax + cz ö— = 0 
dx 
dz\ 2 d 2 z n 
+ Ci, ä?“ u 
dx, 
d z\ 2 
a + c 
, , (dz\ 2 d 2 z A 
h + C [dy) + 012 W* ~ ° 
dz dz d 2 z ( 
Cs-J \~ CZ v, a =0 
dxdy dxdy 
und ge 
der vo] 
d 2 z 
dx 2 = 
2) 
(a x x + 
ist z ai 
zur Ab 
und be 
so laui 
maßen: 
[al 
und ihi 
dz 
dx 
dz 
dy 
d^z_ 
dx 2 
d 2 _z 
dy 2 
d 2 z 
dxdy