¿¡/¡* FONCTIONS ELLIPTIQUES : THÉORÈME D’EULER. 
lin effet, l’on a identiquement, pour ce qui concerne en (x -/), 
( i — A-2 X 2 Y 2 ) 2 — ( X Y' -+■ YX' ) 2 
(43) Cn 2 (> -+-/) = i — sn 2 0 +7) = - (| “ ^2X2ÿ2)2 
Or i —4- 2 X 2 Y 2 est, à volonté, soit (i — X 2 ) +- X 2 (i — k 2 Y 2 ), c’est- 
Y2V'2 _ _ Y 2 X' 2 
à-dire en 2 x -h -—-— ? soit (i — Y 2 ) -h Y 2 (i — k 2 X-) ou en 2 / H- ■ 2 - • 
en 2 y c il"* x 
Le carré (i — /c 2 X 2 Y 2 ) 2 peut donc être remplacé, dans le numérateur 
du troisième membre de (43), par 
X.2X' 2 Y 2 Y' 2 
/ „ 
X 2 Y' 2 \ 
/ , Y 2 X' 2 \ 
i en 2 x —s— 
en 2 / / 
= en 2 x en 2 / -h X 2 Y' 2 -+- Y 2 X' 
en 2 a? en 2 / 
, . / XX'Y Y' \ 2 
ce qui réduit évidemment ce numérateur a cn^cnr 
1 V 17 en x en// 
Mais les équations cn^ x — i — X 2 , en 2 /= i — Y 2 , différentiées, don 
nent en x en'x ——-XX', en/ en'/ = —YY' et, par suite, 
en x en /. 
XX' YY' 
cnx enjK 
Donc la formule (43) revient, en y extrayant la racine carrée, à prendre 
, \ , ,, TI, cnxcny— cn'ircn'r 
pour en (x h- y) 1 une ou 1 autre des valeurs _ — —— 
x—A: 2 sn 2 a7sn 2 / 
Or, si l’on suppose, par exemple, x constant et / variable, c’est le signe 
supérieur seul qui convient à l’instant où / = o, car cette expression 
doit alors se réduire à cnx; et, aux instants où, / s’étant éloigné de 
zéro, elle s’annulera pour changer de signe, la fonction cn(x-\-y), 
cosinus d’un arc tp croissant ou décroissant, en changera aussi, de sorte 
que le signe supérieur continuera seul à convenir. On obtiendra donc 
bien la première formule (4^). 
Quant à la seconde, elle se démontrera de même, en observant, d’une 
part, que 
/i 2 X 2 Y 2 ) 2 — ^ 2 (XY'+ YX') 2 
(44) dn 2 (ir -+-/} = i — №sn 2 ( x -+-/) — 
( r 
(i — A’ 2 X 2 Y 2 ) 2 
et, d’autre part, que, i — 4~ 2 X 2 Y' 2 égalant soit 
(i — /f 2 X 2 ) -+- /î 2 X 2 (i — Y 2 ), 
c est-à-dire dn^x h ’ so * 1 c ^ ll2 ff + ~ 7 numérateur du 
troisième membre de (44) revient au carré ( dnx dn r — — - X YY 
\ 17 dna? dn/