138 II. Abschnitt. Siebentes Capitel. Die einförmigen Grundgebilde. 
und somit ist 
(2.) 
Hierin hat sowohl die rechte, als linke Seite des Verhältnisses eine 
von den Grundelementen unabhängige Bedeutung, indem jede der 
selben den Quotienten der Abstandsverhältnisse der Elemente (3) und 
(4) von den Elementen (1) und (2) für das betreffende Grundgebilde 
gleich ist. 
Von den beiden Seiten dieser Proportion ist jede ganz in der 
selben Weise aus den Elementen*) des einen wie die andere aus 
den entsprechenden des anderen Gebildes gebaut. Die Form jeder 
der beiden Seiten dieser Proportion ist ein Verhältnis, dessen einzelne 
Glieder wieder Verhältnisse sind und das aus diesem Grunde ein 
Doppelverhältnis genannt wird. 
Ein Doppelverhältuis der obigen Art, also ein Doppelverhält- 
uis von der Form 
a — h a — d 
c — h’d — b 
wollen wir das Doppelverhältnis der vier Gröfsen a, h, c, d, 
oder der vier den Parametern a, h, c, d zugehörigen Ele 
mente uen-uen und mit dem Symbol (a, h, c, d) bezeichnen. 
Dasselbe stellt also das Abstandsverhältnis der Elemente, die 
durch die Parameter c und d bestimmt werden, von denen mit den 
Parametern a und h dar. Bezeichnen wir die Elemente mit denselben 
Buchstaben wie ihre Parameter, so ist also § 41 und 42 im Falle a, 
&, c, d vier Puucte einer Geraden sind: 
und im Falle a, b, c, d vier Ebenen eines Ebenen-, oder vier Strahlen 
eines Strahlenbüschels sind: 
sin a A c # sin « A d 
(a h c d) 
sm c A h ' sin d^h 
Mittelst der obigen Definition können wir die obige Formel (2.) 
durch den Satz ausdrückeu: 
Sind zwei einförmige Grundgebilde zu einander pro- 
jectivisch, so ist das Doppelverhältnis von irgend vier 
Elementen des einen Gebildes gleich dem aus den ent 
sprechenden Elementen des anderen. 
) Der Kürze halber statt aus den Parametern der Elemente.