256 II. Abschnitt. Zwölftes Capitel. Das Erzeugnis zweier collinearer Systeme. 
Zwei Gerade sollen conjugiert genannt werden, wenn jede mit 
der Polare der anderen in einer Ebene liegt. 
Es ist somit ein Punct allen Puncten und Strahlen conjugiert, 
die in seiner Polarebene liegen; eine Ebene allen Ebenen und Strahlen 
die durch ihren Pol gehen; eine Gerade allen Puncten, welche auf 
ihrer Polare liegen, allen Ebenen, welche durch diese hindurchgehen, 
und allen Geraden, von welchen ihre Polare geschnitten wird. Jeder 
Punct, jede Berührungsebene und jede Tangente der Ordnungsfläche 
des Polarsystems ist somit sich selbst conjugiert, und umgekehrt. 
Da einem Puncte einer Geraden auf derselben ein einziger Punct 
conjugiert ist, der Durchschnittspunct der Geraden mit der Polar 
ebene des Punctes, ebenso einer Ebene, die durch eine Gerade hindurch 
geht, eine einzige Ebene conjugiert ist, welche diese Gerade enthält, 
so folgt: 
Die einander conjugierten 
Puncte, welche auf derselben Ge 
raden liegen, bilden eine Involu 
tion, deren Doppelpuncte die sich 
selbstcoujugierten Elemente, also 
die Durchschnittspuncte der Gera 
den mit der Ordnungsfläche des 
Polarsystems, sind. 
Somit: 
Je zwei conjugierte Puncte 
werden durch die Ordnungsfläche 
harmonisch getrennt. 
Oder mit anderen Worten: 
Jeder Punct wird von seiner 
Polarebene durch die Ordnungs 
fläche harmonisch getrennt. 
Die einander conjugierten Ebe 
nen, welche durch dieselbe Gerade 
gehen, bilden einen involutorischen 
Ebenenbüschel, dessen Doppel 
ebenen die sich selbstconjugierten 
Elemente, also die Berührungs 
ebenen der Ordnungsfläche des Po 
larsystems, sind. 
Je zwei conjugierte Ebenen 
werden durch die Ordnungsfläche 
harmonisch getrennt. 
Jede Ebene wird von ihrem 
Pol durch die Ordnungsfläche har 
monisch getrennt. 
Zu dem nämlichen Ergebnisse gelangen wir auch in folgender 
Weise. Bezeichnen wir mit y x , y 2 , y z , laufende Coordinaten, so 
hat der Punct 
£ 4 die Polarebene 
ik 
(1.) 
Ist £,, £ 2 , £ 3 , | 4 ein Punct der Fläche, so berührt seine Polar 
ebene die Fläche in ihm, also stellt unter dieser Voraussetzung die 
obige Gleichung die Berührungsebene im Puncte | 2 , | 3 , | 4 
die Fläche dar. Ist dieser Punct kein Punct der Fläche, so wird 
eine durch ihn gezogene Gerade die Fläche im Allgemeinen in zwei 
Puncten schneiden. Denken wir uns die Gerade als Verbindungslinie 
des Punctes | 2 , | 3 , £ 4 mit dem Puncte ?/,, y 2 , y ?) , y A seiner