Full text: Leonardi Euleri Commentationes Arithmeticae Collectae (Tomus 2)

De numeris amicabilihus. 
629 
IIoc enim casu, cum unitas cujusque numeri tam divisor quam pars aliquota censeri soleat, erit 
quoque A = 1 et partium aliquotarum summa — 1 putatur. Verum cum unitas in hujusmodi 
quaestionibus non inter numeros collocari soleat, haec exceptio nullam difficultatem afferet. 
§ 5. Hoc igitur litterarum significatu praemisso, cum numerorum primorum nulla detur pars 
aliquota praeter unitatem, et quilibet numerus primus alios non habeat divisores praeter unitatem et 
se ipsum, si a fuerit numerus primus, erit A — a-+-1. Atque §i a fuerit quaepiam potestas 
numeri primi p, summa divisorum ejus A facile assignari poterit. Sit enim: a — p 2 , erit utique 
A =■1 -+- p -+- p 1 ; ac si a—p 3 , erit A = 1 -t-p -t-p 2 -*-/) 3 . In genere autem, si denotante p 
numerum primum quemcunque fuerit a = p n , erit A = 1 -+- p -+- p 2 -+- H-p", qui divisores 
cum constituant progressionem geometricam, erit quoque: A =—^—-—• Unde si a fuerit potestas 
p — i 
quaecunque numeri primi p, quicunque sit ejus exponens, erit semper A — ^—Si igitur sit a 
potestas binarii, erit A —2 a— i; sin sit a potestas ternarii, erit A = ~ a 1 ? sin potestas qui- 
.. . i 5a — 1 . 
nani, ent = —-— et ita porro. 
§ 6. Quodsi a fuerit productum ex duobus diversis numeris primis p et q, puta a=pq: erit 
summa divisorum A —\ -*-p-+-q + pq = [{ p) (1 -+- q). Simili modo si plures habeantur nu 
meri primi diversi p, q, r, s, etc. fueritque a=pqr, erit A = {i -4-p) (1 q) (1 n-r), et posito 
d — pqrs, erit A = (1 n-p) (1 -+- q) f 1 -+- r) (1 -i- s). Cum autem sit p -+- 1 = P, ry -i- l = Q, 
r+i = R, etc., si fuerit a=pq, erit A — PQ, et si sit a=pqr, erit A=PQR etc.; quae expres 
sionum similitudo non solum locum habet, si p, q et r sint numeri primi diversi, sed etiam dummodo 
fuerint numeri primi inter se, ut praeter unitatem nullum alium divisorem habeant communem. Si 
enim sit P summa divisorum numeri p, et Q summa divisorum ipsius q, atque hae summae P et Q 
praeter unitatem nullum numerum communem contineant, tum productum a — pq primo eosdem 
habebit divisores, quos factor p, quorum summa est = P; deinde divisores quoque habet numeri q, 
quorum summa est = Q; in quibus quoniam unitas bis occurrit, summa ulrorumque divisorum erit 
— —U Tertio productum pq divisibile erit per singula producta ex binis divisoribus 
numerorum p et q, exclusa utrinque unitate; horum autem compositorum divisorum summa erit 
— f) {Q I) — PQ — P — Q -+- 1, quae cum summa simplicium P Q — 1 facit PQ; ita 
ut posito a = pq, sit A = PQ. 
S 7- C um igitur omnis numerus sit vel primus, vel productum ex aliquot primis, eorum ve 
potestatibus, ex resolutione numerorum in factores facile eorundem summa divisorum cognoscitur. 
Positis enim p, q, r, etc. numeris primis, omnis numerus in hujusmodi forma continebitur: 
a—p q r 1 Cum igitur factoris p'" summa divisorum sit = p —-—- r ^ ) et factoris q n sit 
1 . . i- 
f _- 1 - •? ipsi usque r summa divisorum sit 
-i 
p — i 
——} ob istos factores p m , q", r , inter 
se 
( I L r — 1 
Primos, erit numeri propositi a=p m q n r k .... summa divisorum 
/i (p y;i+1 -l) 1) 1) 
(p — !)(? — l)(r — 1) 
Ilocquc modo ut ipse numerus a per factores exprimitur, ita quoque summa ejus divisorum, per 
factores expressa, reperietur: quod in plerisque hujus generis quaestionibus resolvendis non parum
	        
Waiting...

Note to user

Dear user,

In response to current developments in the web technology used by the Goobi viewer, the software no longer supports your browser.

Please use one of the following browsers to display this page correctly.

Thank you.