De numeris amicabilihus.
629
IIoc enim casu, cum unitas cujusque numeri tam divisor quam pars aliquota censeri soleat, erit
quoque A = 1 et partium aliquotarum summa — 1 putatur. Verum cum unitas in hujusmodi
quaestionibus non inter numeros collocari soleat, haec exceptio nullam difficultatem afferet.
§ 5. Hoc igitur litterarum significatu praemisso, cum numerorum primorum nulla detur pars
aliquota praeter unitatem, et quilibet numerus primus alios non habeat divisores praeter unitatem et
se ipsum, si a fuerit numerus primus, erit A — a-+-1. Atque §i a fuerit quaepiam potestas
numeri primi p, summa divisorum ejus A facile assignari poterit. Sit enim: a — p 2 , erit utique
A =■1 -+- p -+- p 1 ; ac si a—p 3 , erit A = 1 -t-p -t-p 2 -*-/) 3 . In genere autem, si denotante p
numerum primum quemcunque fuerit a = p n , erit A = 1 -+- p -+- p 2 -+- H-p", qui divisores
cum constituant progressionem geometricam, erit quoque: A =—^—-—• Unde si a fuerit potestas
p — i
quaecunque numeri primi p, quicunque sit ejus exponens, erit semper A — ^—Si igitur sit a
potestas binarii, erit A —2 a— i; sin sit a potestas ternarii, erit A = ~ a 1 ? sin potestas qui-
.. . i 5a — 1 .
nani, ent = —-— et ita porro.
§ 6. Quodsi a fuerit productum ex duobus diversis numeris primis p et q, puta a=pq: erit
summa divisorum A —\ -*-p-+-q + pq = [{ p) (1 -+- q). Simili modo si plures habeantur nu
meri primi diversi p, q, r, s, etc. fueritque a=pqr, erit A = {i -4-p) (1 q) (1 n-r), et posito
d — pqrs, erit A = (1 n-p) (1 -+- q) f 1 -+- r) (1 -i- s). Cum autem sit p -+- 1 = P, ry -i- l = Q,
r+i = R, etc., si fuerit a=pq, erit A — PQ, et si sit a=pqr, erit A=PQR etc.; quae expres
sionum similitudo non solum locum habet, si p, q et r sint numeri primi diversi, sed etiam dummodo
fuerint numeri primi inter se, ut praeter unitatem nullum alium divisorem habeant communem. Si
enim sit P summa divisorum numeri p, et Q summa divisorum ipsius q, atque hae summae P et Q
praeter unitatem nullum numerum communem contineant, tum productum a — pq primo eosdem
habebit divisores, quos factor p, quorum summa est = P; deinde divisores quoque habet numeri q,
quorum summa est = Q; in quibus quoniam unitas bis occurrit, summa ulrorumque divisorum erit
— —U Tertio productum pq divisibile erit per singula producta ex binis divisoribus
numerorum p et q, exclusa utrinque unitate; horum autem compositorum divisorum summa erit
— f) {Q I) — PQ — P — Q -+- 1, quae cum summa simplicium P Q — 1 facit PQ; ita
ut posito a = pq, sit A = PQ.
S 7- C um igitur omnis numerus sit vel primus, vel productum ex aliquot primis, eorum ve
potestatibus, ex resolutione numerorum in factores facile eorundem summa divisorum cognoscitur.
Positis enim p, q, r, etc. numeris primis, omnis numerus in hujusmodi forma continebitur:
a—p q r 1 Cum igitur factoris p'" summa divisorum sit = p —-—- r ^ ) et factoris q n sit
1 . . i-
f _- 1 - •? ipsi usque r summa divisorum sit
-i
p — i
——} ob istos factores p m , q", r , inter
se
( I L r — 1
Primos, erit numeri propositi a=p m q n r k .... summa divisorum
/i (p y;i+1 -l) 1) 1)
(p — !)(? — l)(r — 1)
Ilocquc modo ut ipse numerus a per factores exprimitur, ita quoque summa ejus divisorum, per
factores expressa, reperietur: quod in plerisque hujus generis quaestionibus resolvendis non parum