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INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES TOTALES;
Si les expressions données de M, N, P les vérifient, la relation (8),
multipliée par dz et intégrée, fera connaître ¿(s) à une constante ar
bitraire près, et, en appelant f {Mdxy-Ndy-yVdz) ce que sera toute
la partie du second membre de (7) contenant x, y,z, il viendra
(10) o — f( M dx N dy -h P dz) -4- une constante arbitraire c.
Concevons actuellement que M, N, P dépendent encore d’une
quatrième variable u, et que l’on ajoute une nouvelle équation à véri
fier, < ldL — Q. Il est clair que le dernier terme c de (10), constant seule-
du
ment en ce sens qu’il ne dépend ni de x, ni de y, ni de z, sera une
fonction provisoirement arbitraire, 4ù de u, à déterminer de manière
do
qu’on ait
du
Q.De là se tirera la valeur de 4/{u), et, vu l’impossi-
bilité, pour cette valeur, de dépendre de x, y ou z, il viendra, comme
nouvelles conditions d’intégrabilité, l’égalité des dérivées respectives
de Q en x, y et 5 à celles de M, N, P par rapport à u. Et ainsi de
suite.
En résumé ; i° le procédé suivi s’étend au cas d’autant de variables
qu’on le veut; 2 0 il exige, généralement, autant d’intégrations qu’il y
a de variables indépendantes, savoir, une intégration par rapport à
chaque variable; 3° toutes les conditions d’intégrabilité consistent en
ce que, dans l’expression donnée M dx -4- N dy -4-,. ., les coefficients
des différentielles de deux variables quelconques doivent avoir leurs
dérivées premières respectives, prises, pour chacun, par rapport à la
variable dont il n’aifecte pas la différentielle, identiquement égales
entre elles.
219. — Exemples de différentielles totales qui s’intégrent facilement.
Deux exemples très simples de l’intégration d’une différentielle
totale montreront qu’on peut employer, dans divers cas, des procédés
spéciaux suggérés par une vue directe de l’expression proposée, et qui
dispensent de recourir à la méthode générale.
Soit d’abord la différentielle, à deux variables,
(n)
(ax — h y) dx -4- ( a y -4- h x) dy
-y 2
où a et h désignent deux constantes quelconques. On a ici
M
by
y-
N =
«J
•y 2
: : :
