LIVRE IV. 
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les côtés OD, OE, prolongés ; à cause des rayons égaux AC, 
AB I 1 G 
OF, on aura d’abord C:0:: AB;FG*, ou:: : . Mais * 17, 2. 
AC FO 
à cause des arcs semblables FG, DE, on a * FG : DE : ; FO : *u-. 
AB DE 
par conséquent C : O : : . 
PROPOSITION IX. 
THÉORÈME. 
De deux polygones réguliers isopérimetres, celui qui a le 
plus grand nombre de cotés est le plus grand. 
Soit DE le demi-côté de l’un des polygones , O son centre, fig. 
OE son apothème ; soit AB le demi-côté de l’autre polygone, 
C son centre, CB son apothème. On suppose les centres O 
et C situés à une distance quelconque OC, et les apothèmes 
OE, CB, dans la direction OC : ainsi DOE et ACB seront 
les demi-angles au centre des polygones, et comme ces an 
gles ne sont pas égaux, les lignes CA, OD, prolongées sc 
rencontreront en un point F ; de ce point abaissez sur OC 
la perpendiculaire FG ; des points O et C , comme centres , 
décrivez les arcs GI, GH, terminés aux côtés OF, CF. 
GI GH 
Cela posé, on aura par le lemme précédent O ; C ; : ; — 
OG CG 
mais DE est au périmètre du premier polygone comme 
l’angle O est à quatre angles droits, et AB est au périmètre 
du second comme l’angle C est à quatre angles droits ; donc, 
puisque les périmètres des polygones sont égaux, DE : AB 
GI GH 
ÔG‘CG*' 
Multipliant les antécédents 
;: 0:C, ou DE: AB 
par OG et les conséquents par CG, on aura DEX OG: ABX 
CG :: GI : GH. Mais les triangles semblables ODE, OFG, 
donnent OE : OG : : DE : FG, d’où résulte DE X OG = OE 
X FG ; on aura de même AB X CG — CB X FG ; donc OE X 
FG : CB X FG :: GI : GH, ou OE ; CB : : GI : GH. Si donc 
on fait voir que l’arc GI est plus grand que l’arc GH, il 
s’ensuivra que l’apothème OE est plus grand que CB.