LIVRE VII 
A et B, et soit hors de cet arc, s’il est possible, M un 
point de la ligne la plus courte entre A et B. Par le 
point M menez les arcs de grands cercles MA, MB, 
et prenez BN = MB. 
Suivant le théorème précédent l’arc ANB est plus 
court que AM 4-MB; retranchant de part et d’autre 
BN = BM, il restera AN<AM. Or, la distance de B 
en M, soit quelle se confonde avec l’arc BM, ou 
qu elle soit toute autre ligne, est égale à la distance de 
B et N ; car en faisant tourner le plan du grand cercle 
BM autour du diamètre qui passe par B, on peut ame 
ner le point M sur le point N, et alors la ligne la plus 
courte de M en B, quelle quelle soit, se confondra 
avec celle de N en B; donc les deux chemins de A en 
B, l’un en passant par M, l’autre en passant par N, 
ont une partie égale de M en B et de N en B. Le pre 
mier chemin est, par hypothèse, le plus court ; donc 
la distance de A en M est plus courte que la distance 
de A en N, ce qui serait absurde, puisque l’arc AM 
est plus grand que AN ; donc aucun point de la ligne 
la plus courte entre A et B ne peut être hors de l’arc 
ANB ; donc cet arc est lui-même la ligne la plus courte 
entre ses extrémités. 
PROPOSITION IV, 
THEOREME, 
La somme des trois côtés d’un triangle sphé 
rique est moindre que la circonférence d’un 
grand cercle. 
Soit ABC un triangle sphérique quelconque; pro- gg. 324 
longez les côtés AB, AG, jusqu’à ce qu’ils se rencon 
trent de nouveau en D. Les arcs ABD, ACD, seront 
des demi-circonférences, puisque deux grands cercles 
se coupent toujours en deux parties égales*; mais dans • 1, 
le triangle BCD on a le côté BG < BD 4- CD*; ajoutant * ?..