angles de triangles équilatéraux : il faut donc clierclier par 
le problème cité l’angle que deux de ces plans font entre 
eux , cet angle sera l’inclinaison de deux faces adjacentes 
du tétraèdre. 
Dans Vhexaèdre. L’angle de deux faces adjacentes est un %. a44- 
angle droit. 
Dans l'octaèdre. Formez un angle solide avec deux an- 243. 
gles de triangles équilatéraux et un angle droit, l’inclinai 
son des deux plans où sont les angles des triangles sera 
celle de deux faces adjacentes de l’octaèdre. 
Dans le dodécaèdre. Chaque angle solide est formé avec 24g. 
trois angles de pentagones réguliers ; ainsi l’inclinaison des 
plans de deux de ces angles sera celle de deux faces adja 
centes du dodécaèdre. 
Dans l’icosaèdre. Formez un angle solide avec deux an- fig. 247. 
gles de ti'iangles équilatéraux et un angle de pentagone ré 
gulier , l’inclinaison des deux plans où sont les angles des 
triangles sera celle de deux faces adjacentes de l’icosaèdre. 
PROPOSITION IV. 
PROBLEME. 
Etant donné le coté d’un polyèdre régulier, trouver le 
rayon de la sphere inscrite et celui de la sphere circons 
crite au polyèdre. 
Il faut d’abord démontrer que tout polyèdre régulier peut %• ■248. 
être inscrit dans la sphere , et qu’il peut lui être circonscrit. 
Soit AB le côté commun à deux faces adjacentes , soient 
C et E les centres de ces deux faces, et CD, ED, les perpendi 
culaires abaissées de ces centres sur le côté commun AB, 
lesquelles tomberont au point D, milieu de ce côté. Les deux 
perpendiculaires CD , DE, font entre elles un angle connu, 
qui est égal à l’inclinaison de deux faces adjacentes, déter 
minée par le problème précédent. Or si, dans le plan CDE, 
perpendiculaire à AB, on mene sur CD et ED les perpendi 
culaires indéfinies CO et EO, qui se rencontrent en O, je 
dis que le point O sera le centre de la sphere inscrite et 
celui de la sphere circonscrite ; le rayon de la première 
étant OC , et celui de la seconde OA.