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NOTE IV. 
composantes —,—-,—— , 
n n' n 
m m' m" 
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etc. soient toutes plus petites que 
Vunité, je dis que la valeur totale de la fraction continue 
sera nécessairement un nombre irrationnel. 
D’abord, je dis que cette valeur sera plus petite que 
l’unité. En effet, sans diminuer la généralité de la fraction 
continue , on peut supposer tous les dénominateurs «, n', 
n", etc. positifs ; or , si on prend un seul terme de la suite 
m 
proposée , on aura , par hypothèse, — < i. Si on prend les 
m’ . . m' 
deux premiers, à cause de —--< i , il est clair que n~\ 
n' n' 
est plus grand que n— i : mais m est plus petit que n; et, 
puisqu’ils sont l’un et l’autre des entiers , m sera aussi plus 
m' 
petit que n ~\ -. Donc la valeur qui résulte des deux 
n 
termes 
est plus petite que l’unité. Calculons trois termes de la 
fraction continue proposée ; et d’abord , suivant ce qu’on 
vient de voir, la valeur de la partie 
sera plus petite que l’unité. Appelons cette valeur o, et il 
m 
est clair que sera encore plus petite que l’unité : donc 
n —J— (i) 
la valeur qui résulte des trois termes 
est plus petite que l’unité. Continuant le même raisonne 
ment , on verra que , quel que soit le nombre de termes 
qu’on calcule de la fraction continue proposée , la valeur 
qui en résulte est plus petite que l’unité ; donc la valeur 
totale de cette fraction prolongée à l’infini, est aussi plus