HOTE IV. 
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petite que l’unité. Elle ne pourrait être égale à l’unité que 
dans le seul cas où la fraction proposée serait de la forme 
m +1 ■ 
rn' 1 ■ 
m" -f- 1 — etc. 
dans tout autre cas elle sera plus petite. 
Cela posé, si on nie que la valeur de la fraction continue 
proposée soit égale à un nombre irrationnel , supposons 
qu’elle est égale à un nombre rationnel, et soit ce nombre 
B 
—, B et A étant des entiers Quelconques ; on aura donc 
A 
B ni 
— m' 
A n _j m " 
n' H 
n" -p- etc. 
Soient C , D, E, etc. des indéterminées telles qu’on ait 
C m ' v 
B n' -\ — m'" 
n" -f- 
n'" -f- etc. 
D m" 
C n" m ir 
n'" H 
« Iv -f- etc. 
et ainsi à l’infini. Ces différentes fractions continues ayant 
tous leurs termes plus petits que l’unité, leurs valeurs ou 
B C D E . , . , 
sommesetc. seront plus petites que 1 unité, 
suivant ce qui vient d’être démontré , et ainsi on aura 
B<A, C<B, D<C, etc. ; d’où l’on voit que la suite A, 
B, C, D, E, etc. est décroissante à l’infini. Mais l’enchaî 
nement des fractions continues dont il s’agit donne 
B m 
— — C : d’où résulte C~mA. — n B , 
A n+- 
C m' 
— = —-— D ; d’où résulte D “ m' B — n’ C, 
B n' A 
D 
C 
- E ; d’où résulte E = rn" C — n" D, 
D