NOTE V. 
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PROBLEME II, 
Etant donnés les quatre côtés d’un quadrilatère inscrit, 
trouver le rayon du cercle , la surface du quadrilatère et 
ses angles. 
Soient les côtés donnés AB“« , BC—b, CD=c, DA—f/, %• 276. 
et les diagonales inconnues AC~.r, BD;=jr, on aura, sui- 
x ad -J- b c 
vant le théor. 33 , liv. m, xy -=zac-\- bd et ~ — —- -1 
y a b -f- c d 
d’où l’on tire 
'{ac-V-hct) [ad+hcj\ / f{ac+bd) (yib+cd) 
-),r=v/ (- 
ab-^-cd V V ad-\-bc 
Mais, suivant le problème précédent , le rayon du cercle 
circonscrit au triangle ABC, dont les côtés sont a, b, x, peut 
ah x 
s’exprimer par la formule z = — —— • 
1 1 p/[4 « 2 è 2 —(« 2 +è 2 —ar) 2 ] 
Substituant au lieu de x la valeur qu’on vient de trouver 
et décomposant le résultat en facteurs , on aura 
/ F (ac-\-bd) (ad-\-bc) (ab-\-cd) 
Z \é — d) (a + b-\-d—c) (a~\-c-\-d—b) (b-\-c-\-d—û)J 
. —abx 
Cela posé , l’aire du triangle ABC “ - , celle du trian 
gle ADC 
4 cd. 
- ; donc Faire du quadrilatere AB CD = 
(«Ô-f-Cû?) x 
4 z 
—dj (yt-\-h~\-d—c'j {a-^-c-\~d—b] (b \~c—\~d—aj|, 
Et si on fait, pour abréger , p — 4 (« + è-f-c4-c?),on 
aura Faire ABCD =p/ (p — a.p—b.p—c.p—d]). Enfin pour 
avoir l’un des angles, par exemple, l’angle B , ou obser- 
, « 2 -f-ô 2 — x 2 
vera que le triangle ABC donne cos B rz : 
1 ab 
substituant la valeur de x et réduisant, ou aura cos B zr: 
a t ~\~b*— c* — d 2 . 1—cos B 
De la on tire — : — , ou tang. 2 ~ B 
2 ah -}- 2 cd 
i 4- cos B