NOTE V.
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PROBLEME IV.
Étant données les trois arêtes d'un parallélépipède avec
les angles qu'elles font entre elles , trouver la solidité du
parallélépipède.
Soient les arêtes SArrr/, SB=g-, SC=;A, et les angles iîg 278.
compris ASB = v, ASC = g , BSC= œ. Si du point C on
abaisse CO pei’pendiculaire sur le plan ASB , le triangle
rectangle CSO donnera CO = CS sin CSO = h sin CSO. D’ail
leurs la surface du parallélogramme ASBP —fgs,\n y. Donc
si on appelle S la solidité du parallélépipède ST, on aura
S—fgh sin a sin CSO. Il reste à trouver sin CSO.
Pour cela du point S comme centre et d’un rayon = 1,
décrivez une surface sphérique qui rencontre en D , E, F, G,
les droites SA , SB , SC , SO ; vous aurez un triangle DEF
dans lequel l’arc FG est perpendiculaire sur ED , puis
que le plan CSO est perpendiculaire sur ASB. Or le
triangle DEF, où l’on a les trois côtés DEz=y, DF =
cos g — cos « cos y
g , EF — a, donne cos E — ; ; , et sin E ~
sin a sin y
\/ ( 1 — cos 1 a — cos 2 g — cos 2 y -+ 2 cos a cos g cos y )
sin a sin y
Ensuite îe triangle rectangle EFG donne sin GF ou sin CSO
— sin E sin EF = sin a sin E. Donc S=fgh sin a sin y sin E,
ou
S=fgk[/ ( 1 —cos 2 a —cos 2 g —cos 2 y+ 2 cos a cos g cosy).
Dans cette expression la quantité sous le radical est le
produit des deux facteurs sin a sin y -|- cos g — cos a cos y et
sin a sin y—cos g+cos a cos y. Le premier=cos g—cos (a+y)
: 2 sin —L_sin , le second~cos (a—y)—cos g
a-f-6"
-y . g-f-y
— sin —
-> Donc la solidité cherchée
s — ïfgh y/ l^sin-
-f-ê+y . a+g—y . a+y—g . g+y—a