NOTE V. 
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PROBLEME IV. 
Étant données les trois arêtes d'un parallélépipède avec 
les angles qu'elles font entre elles , trouver la solidité du 
parallélépipède. 
Soient les arêtes SArrr/, SB=g-, SC=;A, et les angles iîg 278. 
compris ASB = v, ASC = g , BSC= œ. Si du point C on 
abaisse CO pei’pendiculaire sur le plan ASB , le triangle 
rectangle CSO donnera CO = CS sin CSO = h sin CSO. D’ail 
leurs la surface du parallélogramme ASBP —fgs,\n y. Donc 
si on appelle S la solidité du parallélépipède ST, on aura 
S—fgh sin a sin CSO. Il reste à trouver sin CSO. 
Pour cela du point S comme centre et d’un rayon = 1, 
décrivez une surface sphérique qui rencontre en D , E, F, G, 
les droites SA , SB , SC , SO ; vous aurez un triangle DEF 
dans lequel l’arc FG est perpendiculaire sur ED , puis 
que le plan CSO est perpendiculaire sur ASB. Or le 
triangle DEF, où l’on a les trois côtés DEz=y, DF = 
cos g — cos « cos y 
g , EF — a, donne cos E — ; ; , et sin E ~ 
sin a sin y 
\/ ( 1 — cos 1 a — cos 2 g — cos 2 y -+ 2 cos a cos g cos y ) 
sin a sin y 
Ensuite îe triangle rectangle EFG donne sin GF ou sin CSO 
— sin E sin EF = sin a sin E. Donc S=fgh sin a sin y sin E, 
ou 
S=fgk[/ ( 1 —cos 2 a —cos 2 g —cos 2 y+ 2 cos a cos g cosy). 
Dans cette expression la quantité sous le radical est le 
produit des deux facteurs sin a sin y -|- cos g — cos a cos y et 
sin a sin y—cos g+cos a cos y. Le premier=cos g—cos (a+y) 
: 2 sin —L_sin , le second~cos (a—y)—cos g 
a-f-6" 
-y . g-f-y 
— sin — 
-> Donc la solidité cherchée 
s — ïfgh y/ l^sin- 
-f-ê+y . a+g—y . a+y—g . g+y—a