362 TRIGONOMÉTRIE. 
De là résulte , en changeant le signe de p/—i, 
{cos A—1/—i s in A)”— cos n A—1/—1 s in n A, 
et de ces deux équations qui sont une suite l’une de l’autre, 
on déduira les valeurs séparées de sin n A et cos n A, savoir; 
cos n A— ~ (cos A+i/ — 1 sin A) w -f- (cos A—1/—1 sin A) n 
sin nA—-^—-(cos A+i/— 1 sinA) n —~—-{cos A— |/— 1 sin A) a 
xxxiii. Si on veut exprimer les mêmes quantités en 
séries , il faudra développer par la formule du binôme 
(cos A + \/— 1 sin A)”, ce qui donnera 
n . n . n. n—1 
cos AH—cos n 1 AsinA\/— i cos 3 A sin 3 A 
1 1.2 
n . n— I. n 2 
< 
I . 2.3 
, . . , . . n.n 1 .n 2.71—3 „ . , ... 
Asm A\/— iH — cos 4 A«rt 4 A+etc. 
I.2.J.4 
Et cette quantité étant la valeur de cos n A-\-\/—1 sin n A, 
on égalera séparément la partie réelle à cos nA, et la partie 
imaginaire à p/—1 sin nA. On aura donc 
cos nA—cos n A— 
n.n—1 
cos 2 Asin'A-\- 
1.2 
n . n— I . n— 2 . n—3 
x. 2.3.4 
cos n 4 A.h/7 4 A-—etc. 
sin nA—n cos n 1 A.«/? A—-——co/ 1 3 A îi« 3 A + etc, 
1.2.3 
séries dont la loi est facile à saisir, et au moyen desquelles 
on trouve le sinus et le cosinus d’un arc multiple de A, 
d’une maniéré beaucoup plus prompte que par les opéra 
tions indiquées art. xxiv. 
xxxiv. Puisqu’on a sin A = cos A tang A, ces séries 
peuvent se mettre sous la forme 
f n.n—x n.n — i.n—2 .n 3 \ 
cosnA — cos A[ 1 tang'A-\ tang*A—-etc. ) 
\ 1.2 1.2.3.4 / 
) 
/ n 
sin nA—cos 11 A ^ - tang A 
n. n—1. n— 2 
.2.3 
tang* A + etc. 
Soit n = — , 
A 
on aura , en substituant cette valeur et 
conservant cependant le facteur cos n A,