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PREMIÈRE PARTIE, 
sur toute hyperbole donnée, on peut assigner , d’une infinité de 
manières , deux arcs dont la différence soit égale à une quantité 
algébrique. Il démontra en môme temps que la lemniscate jouit de 
cette singulière propriété, que ses arcs peuvent être multipliés ou 
divisés algébriquement, comme les arcs de cercle quoique chacun 
d’eux soit une transcendante d’un ordre supérieur. 
Euler, par une combinaison qu’on peut regarder comme fort 
heureuse, quoique ces hasards n’arrivent jamais qu’à ceux qui savent 
les faire naître, trouva l’intégrale algébrique complète d’une équa 
tion différentielle composée de deux termes séparés, mais sem 
blables, dont chacun n’est intégrable que par des arcs de sections 
coniques (*). 
Cette découverte importante donna lieu à son auteur de comparer 
d’une manière plus générale qu’on ne l’avait fait avant lui, non- 
seulement les arcs d’une même ellipse ou d’une même hyperbole, 
mais en général toutes les transcendantes comprises dans la for- 
/ P doc • • _ s _ 
-p—, où P est une fonction rationnelle de x , et R un radical 
de la forme ]/( at-f- -{-yx* -{- chr 3 -J- eæ 4 ) , a, C, y , cT , e, étant 
constans. 
L’intégrale trouvée par Euler était trop remarquable pour ne pas 
fixer particulièrement l’attention des Géomètres. Lagrange voulut 
faire rentrer cette intégration dans les procédés ordinaires ds 
l’analyse; il y réussit par une méthode fort ingénieuse ( 2 ) , dont 
l’application s’élève graduellement des transcendantes inférieures 
aux transcendantes Eulériennes ; mais il essaia inutilement de par 
venir à un résultat plus général que celui d’Euler. 
Peu de temps après. Lauden, géomètre anglais, démontra que 
tout arc d’hyperbole peut être mesuré par deux arcs d’ellipse ( 3 ); 
découverte mémorable qui réduit aux seuls arcs d’ellipse toutes 
les intégrales qu’on n’avait pu exprimer jusques-lk que par la recti 
fication des deux courbes. 
Enfin Lagrange se signala de nouveau dans la même carrière, 
C) Euler. Novi Com. Petrop, Tora. YI et YII. 
( a ) Mem. de Turin, Tom, IY. 
( :: ) Mathematical Memoirs, by John Landen , 1780. 
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