DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 5
en donnant une méthode générale (*) pour ramener, par des
-p— à l’intégrale d’une for
mule semblable qui, par la disposition de ses coefficiens, est facile
à évaluer par approximation. Ces transformations ont le double but
de servir à la comparaison d’une suite de transcendantes formées
d’après la même loi, et de conduire aux approximations les plus
rapides dont ces fonctions sont susceptibles.
Telles étaient les principales découvertes des Géomètres dans la
/ Рdoc • * •
-p—, lorsque je publiai
mes Recherches sur l’intégration par arcs d’ellipse ( 2 ). La première
partie avait été composée avant que j’eusse connaissance du théorème
de Landen ; elle contenait des vues nouvelles sur l’usage des arcs
d’ellipse, et particulièrement un mojen d’éviter l’emploi des arcs
d’hyperbole dans le calcul intégral, en y suppléant par une table
d’arcs d’ellipse dressée convenablement. Je donnai ensuite une nou
velle démonstration du théorème de Landen, et je prouvai par la
même méthode , que toute ellipse donnée fait partie d’une suite
infinie d’ellipses tellement liées entre elles , que par la rectification
de deux de ces ellipses, prises à volonté, on obtient la rectifica
tion de toutes les autres. Ces ellipses ayant un demi-grand axe
commun égal à l’unité , et leurs excentricités variant suivant une loi
connue, depuis zéro jusqu’à l’unité, on peut par ce théorème réduire
la rectification d’une ellipse donnée à celle de deux autres ellipses
aussi peu différentes du cercle qu’on voudra. C’était un pas de plus
dans une carrière difficile.
Mais cette matière, et en général la théorie des transcendantes
désignée par î demandait à être traitée d’une manière plus
méthodique et plus approfondie. C’est ce que j’essayai de faire dans
mon Mémoire sur les Transcendantes elliptiques , publié en 179З.
Je me proposai dans cet ouvrage, de comparer entre elles toutes
les fonctions comprises sous cette dénomination , de les classer en
différentes espèces, de réduire chacune à la forme la plus simple
( l ) Nouveaux Mémoires de Turin, ann. 1784 et iy85, Tom. IL
C) Mém. de l’Acad. des Sciences de Paris, ann. 1785.
