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DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 5 
d’où iî suit que IPV, n m ~‘, etc. peuvent s’abaisser successivement à 
des degrés inférieurs, et qu’on peut continuer la réduction jusqu’à 
ce qu’on n’ait que des quantités au-dessous de II 3 ; car la réduction 
de II 3 est encore possible, parce que dans le cas de m= 3, le terme 
qui semblerait devoir contenir H -1 s’évanouit. Donc P étant une 
fonction entière de x, l’intégrale pourra toujours se réduire à 
une quantité algébrique, plus une transcendante qui sera constam 
ment de la forme 
/( A-f- -f- Cr £ ) 
dx 
lu 
(2). Considérons maintenant la formule dans toute sa généralité, 
et soit P une fonction rationnelle quelconque de x : on fera comme 
s’il était question d’intégrer la fraction rationnelle P dx ; on extraira 
d’abord la partie entière qui peut y être contenue, et cette partie 
sera traitée comme il vient d’être dit. On décomposera ensuite le 
reste en plusieurs fractions partielles , selon le nombre des facteurs 
du dénominateur ; de là résulteront autant de termes dans l’intégrale 
totale , et chacun de ces termes pourra être représenté par l’expres 
sion générale N /7—r——Or, il est facile de réduire tous les 
» J (1+nx)*li 3 
ternies de cette espèce à des termes semblables, où k~i ; c’est ce 
que nous allons prouver dans un instant. Observons auparavant que 
si le dénominateur, au lieu d’être complexe, était simplement x k , 
l’intégrale / , et toutes les semblables où k >> 1, pourraient se 
déterminer par le moyen de l’intégrale B-J- Cr-f-Dx“^ ~, il 
suffirait pour cela de donner k 772 — 4 des valeurs négatives dans 
la formule de l’article (1). 
Revenons au terme général < I ue nous appellerons F*. 
Si on fait 1 -\-nx=ct) , et qu’on prenne les coefficiens a', £', etc* , 
de manière qu’on ait l’équation identique 
= Ct' -J- U Ét> -f- y'b* -f- cTV -j- êV*,