DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
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Maniéré de faire disparaître les puissances impaires de la variable
sous le radical.
(4). Le radical étant toujours \/(u -f- £x -f- yx i -f- cLc 8 -f- esc 4 ),
supposons que la quantité sous le signe soit décomposée en deux
facteurs réels £-f--f-dr*, A -f- 2/ax-}- vx*. Ces facteurs doivent
être de même signe pour que le radical soit réel; ainsi on peut
supposer
Ç + 2Y\X + ôx* == (A 2p*x -f-
De là on tire.
— ti + y/CC^y* ——O (fl —vy*)] .
ô — vy 1 7
et si on appelle, pour abréger, Y le radical de cette expression,'
on aura ~ La valeur de x étant substituée dans P, on voit
que la différentielle ou —^ se décomposera toujours en deux
on aura
parties, l’une rationnelle et intégrable par les règles ordinaires.
l’autre affectée du radical Y, mais telle, qu’il n’y aura que des
puissances paires de y sous le radical et hors du radical. Ainsi
se réduit toujours à celle d’une
formule de la même nature, dans laquelle P et R ne contiennent
que des puissances paires de x.
(5). Cette méthode est générale; cependant, comme la valeur
de x, qui doit être substituée dans P, est un peu compliquée,
il ne sera pas inutile de faire voir qu’on peut parvenir au même
but par une substitution beaucoup plus simple, qui consiste à faire
x = ~P et *} étant deux constantes indéterminées.
Reprenons les facteurs £ -f- zyix + 6jr a , A -f- 2fxx -{- vx* 9 et subs
tituons dans chacun d’eux la valeur de x, on pourra faire abstraction
du dénominateur commun qui sort du radical, et pour que les
