DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. i55 
En effet, d’après cette valeur de n , les formules de l’article cité 
donnent 
n°=. 
O +by* 
et puisque le nouveau paramètre n° est réel, la solution est donnée 
immédiatement par la première transformée 
no) 
où l’on a 
I —f— c° 
P- 
? 
fpu* + qY°-\- -iüL t 
L; i + n J i H- n° sin 2 <p° J 
[ sin A -f- v/ — 1 ( cos ^ — ¿)] 
[ cos A — b — i sin A] 
sm x 
” > 
c a 
¡TjL = "5T [ * ~ cos À + V— I sm *]• 
La valeur de H (/2) exprimée en fonction de n°, c°, est donc 
n (“) = ÙïF ( cos A — 4 —I sin A ) F ( c% 0°) 
+ (TÎr^VÎ sinA + C cosX— i )* / — i) n (»%«%?”) 
■ b COS A + U 1 sin A J /1 -f- b -f- P sin <p°\ 
4&' °° \1 -f- 6 — y sin <p°/‘ 
D’où l’on voit que la fonction FI {n) dont le paramètre est imagi 
naire , se réduit immédiatement à la fonction H (22°, c°, (p° ) dont le 
paramètre est réel, et qui se rapporte au second cas de l’article 5o , 
puisqu’on a n° = — 1 -f- ¿° 2 cos® 7 X. 
Connaissant la valeur de II (/2), on aura en même temps celle de 
FI {ri) en changeant dans la formule précédente le signe de y/—1. 
Si Ton veut comparer ces deux solutions, et qu’à cet effet on 
substitue les valeurs qui viennent d’être trouvées pour H (/2) et 
n {ri) dans la première formule du numéro précédent, on verra 
aisément, d’après les relations connues entre les amplitudes <p et <p°, 
que cette équation devient identique. 
Il n’en sera pas de même si les substitutions sont faites dans la 
seconde équation. On tombe alors sur une équation entre les fonc 
tions fl (/1% c°, <p°) , FI(—jri y c } cp), qui est vraie sans doute, mais qui