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PREMIÈRE PARTIE. 
A l’e'gard de G 0 , cet angle se déduit de G par la formule tang (G®—0} 
> 
où il faut observer qu’on devra faire 6° «< si on a cos X < h, et 
6° > ~ tt si on a cos À > h. 
Cela posé, en faisant toutes les substitutions, il viendra 
^[* + F‘( c }F(^ 6-)-E-( C ) F(M-) 
— F'(c)E(è, 6°)]. 
Donc enfin la fonction complète 
n'(») = iF'M-( 1 (¿-COSX+V-I siaA)F‘(c) 
sin A-f-(cOS A h) \/ 1 
zhs 
[-tt + F 1 (c) F(£, 6°) —E 1 (c)F (¿, ô°) 
-F‘(*)&(*, fl-)]. 
Pour avoir la valeur de cette même fonction par les formules de 
l’art, ii i , il faudra d’abord mettre m sous la forme i — ¿ 2 sin 2 4? et 
chercher ensuite la valeur de Fl 1 (—m) par la formule de l’art, ioi ; 
on observera d’ailleurs que les angles 4 et G® ont entre eux la 
relation i = ctang4 tang’9% d’où résulte F (f>, 4)“f-F(&,6° )=:F 1 (Z’), 
E(6, 4) + F (¿S 6°) ^E 1 ^)-f-¿ 2 sin 4 si« G 0 . La substitution étant 
donc faite, on trouvera après les réductions, la même valeur deTT(«) 
que la précédente, ce qui prouve l’accord des deux méthodes. 
(n4). Puisque toute fonction elliptique de troisième espèce dont 
le paramètre est imaginaire, peut se réduire a deux fonctions de la 
même espèce dont le paramètre est réel, il s’ensuit ; 
i°. Que toute fonction complète de troisième espèce dont le pa 
ramètre est imaginaire, peut toujours se réduire aux fonctions ellip 
tiques de la première et de la seconde espèce. 
3°. Que toute fonction de cette sorte non-complète, mais dont 
l’amplitude <p est telle qu’on ait F (c, <p) = AT 1 (c) , k étant un 
nombre rationnel, pourra également s’exprimer par des fonctions 
de la première et de la seconde espèce.