DES INTÉGRALES EULÉRÏENNES. 2 5 9 
delermînabîe par les arcs de cercle et les logarithmes. On par 
vient ainsi à ce théorème très-remarquable par son élégance et sa 
généralité. 
Si r on prend les trois intégrales 
x p ~'dx 
x p l dx log — 
X 
V/(i — x n ) n -i ~ \/(i—jc n ) n -? 
entre les limites x=o, x = i, la première sera égale au produit 
des deux autres. 
(38). On trouve dans le tome IV du Calcul intégral d’Euler , 
pag. 166, une démonstration du même théorème qui, à cause de 
sa grande simplicité> aurait dù être substituée à la précédente, s’il 
n’y avait pas quelque avantage à considérer un même objet sous 
difïérens points de vue. Voici cette démonstration (*). 
Par la formule de l’art. 4 > on a 
X — p . pq 11 . p etc 
p ’ p -f-n ' p -j- zn 
Différentiant logarithmiquement les deux membres par rapport 
a p , il viendra 
d7 — ( dp . ( d P \ + ( dp dp \ _i_ etc 
Z \p+q p/~\p-\-q+n p~\~ n) \p-\-q-\-zn p-\-znJ ' 
Soit $ ou (y) une fonction de c, telle qu’on ait 
yP yP~H yP+* yp-+-?-4-n yP+2„ yp4-?-t-2« 
<D = ( - j ( j : f- etc. 
p* m P+q P+n P+q+a p+un p-j-q+zn 
La fonction O (e) devenant €> (1) lorsque = 1,011 aura 
dZ 7 _ , \ 
= — dp®{i). 
(") Euler n’avait donné d’abord qu’un cas particulier de ce théorème, qu’on 
trouve dans le tome I de ses Opusc, anal., pag. 18^ ; il est ensuite parvenu au 
théorème général , dont il a donné une démonstration que nous rapportons ici ; 
mais cette circonstance m’avait échappé lorsque j’ai publié mon Mémoire sur 
les intégrales définies t où je n’ai cité que le cas particulier des Opusc. anal.