TROISIÈME PARTIE; 
De Vintégrale Z — 64 e— x dx, prise entre les limites 
imaginaires qui rendent nulle x“”" e~ x . 
(37). La quantité x~* e~ x t où l’on suppose et positif, devient 
un minimum lorsque x = — et ; mais ce minimum se change en 
maximum, si au lieu de donner à x des valeurs réelles, on suppose 
jc = — et —z \/ — i , 
et qu’on donne à z des valeurs quelconques , depuis •—00 jusqu’à 
+ 00. Cette supposition est admissible analytiquement, et les con 
séquences qu’on en déduit méritent d’être remarquées. 
D’après cette valeur de x , l’ordonnée x—* e~ x sera nulle aux deux 
limites de l’intégrale, savoir, lorsque z = — co et lorsque z=~j- 00. 
On pourra donc appliquer à l’intégrale Z la méthode donnée dans 
le chapitre précédent. 
Avant tout, j’observe que et peut être supposé plus grand que 
l’unité, et même aussi grand qu’on voudra; car on a d ( x~'e~ x ) 
= — mx~ m ~ 1 e~ x dx—<x~ m e~ x dx] et par conséquent x~ m e~* 
— — /7 2 foc~~ m ~ l e~ x dx— fx~ m e— x dx' y or m étant positif, la quan 
tité x~ m e~~ x s’évanouit aux deux limites de l’intégrale ; on adone 
fx~ m e~ x dx = — mfx~ m ~ 1 e~ x dx; 
d’où l’on voit que si et était plus petit que l’unité, on pourrait trans 
former la formule proposée en une autre ^ où et serait plus grand 
d’une unité , et ainsi de suite. La formule proposée peut donc être 
préparée de manière que et soit assez grand pour que les suites qui 
résultent de l’intégration soient convergentes. 
(38). Cela posé, si on remarque que le calcul nécessaire pour 
avoir la valeur de l’intégrale fx—*e— x dx dans le cas des limites 
imaginaires , est absolument le même que celui que nous avons 
fait pour avoir l’intégrale fx* e~ x dx dans le cas des limites réelles , 
on verra qu’il suffit de changer le signe de et dans l’intégrale déjà 
trouvée, afin d’avoir celle que nous cherchons. Ainsi puisque nous 
avons trouvé 
Ф