56o TROISIÈME PARTIE. 
(45). Soient M j N, P des fonctions rationnelles et entières de x* } 
si Ton suppose que le plus haut exposant de x dans P est plus 
grand que dans M et N, et qu’en outre P n’a aucun facteur de 
la forme x* — m % , c’est-à-dire qu’il n’y a aucune valeur réelle de x 
qui rende P égal à zéro ; alors il est visible qu’on pourra généra 
lement trouver, au moyen des formules précédentes, l’intégrale 
/( 
M cos ax Nx sia ax 
^ dx y 
(S) 
prise depuis ,r — o jusqu’à x = oo. L’opération à faire pour cela, 
est entièrement semblable à celle qu’on pratique pour l’intégration 
des fractions rationnelles. 
Il est facile maintenant d’appliquer ces formules aux intégrales 
désignées (art 41 ) par Q(i) , Q(a), etc., et on trouvera que les 
résultats s’accordent parfaitement avec ceux que nous avons déduits 
d’une méthode fort différente et beaucoup moins directe. En 
général on pourra vérifier la valeur de Q ( a ) , a étant un nombre 
entier quelconque ; car en faisant tang <p = x, cette intégrale 
pourra toujours se réduire à une somme de termes de la forme 
çAc.x coîuix -f-1>j sin sera ainsi comprise dans la formule (8). 
/ 
( i -f- xx ) k 
(46). Si on multiplie par da les deux membres de l’équation 
dx cos ax . ^ qu’on prenne ensuite l’intégrale par rapport 
1 -f~ xx 
hay depuis a = o , on aura 
dx sin ax 
l'Ti' (1 — e~ a ). 
xdx sin ax 
x (i-j-ar 4 ) 
Ajoutant cette équation à l’équation J' 0 — 
ce résultat remarquable 
* dx 
-p xx 
4 , 7ië~~ a 3 on aura 
/ 
sin axz=i\'7C, (9) 
îl parait d’abord étonnant que cette intégrale soit indépendante de a; 
mais si on met ^ à la place de x, ce qui ne change pas les limites 
o et 00 entre lesquelles l’intégrale doit être comprise ; on trouve 
J ~ sin ax =y^~ sin x ; d’où il suit qu’en effet l’intégrale doit 
être indépendante de a. 
Ou