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DES FONCTIONS ELLIPTIQUES, 
brique complète de réquation différentielle 
md<p rd'\, 
^/( i — c 2 sin 2 <p) y ( i — c 2 sin 2 4) ° , 
m et n étant des nombres entiers ; car l’intégrale est d’abord 
mF (<p)dbriF (4) = const. Et si on suppose que lorsque 4 = o, on 
ait ^ = ^,13 constante sera mF (y), et on aura l’intégrale 
mF (<p) zhnF (4) = mF (/a). 
Soit (ù une auxiliaire telle que F ( y) == F (<p) rfc F (o>) , on aura 
en même temps mF (¿w) = wF (4) ; si on exprime ensuite ces deux 
équations en termes algébriques, et qu’on élimine co, on aura Fin- 
tégrale algébrique cherchée dans laquelle y sera la constante ar 
bitraire. 
En général; si on avait l’équation suivante, dans laquelle m 3 
n, p, etc. sont des entiers positifs ou négatifs, 
n — md <P nd ± .... P d * , ctr - 
\/(i—c 2 sia 2 p) ' UC 1 —c a sin 2 4) C 1 c a sin a a>) 1 ‘ 9 
l’intégrale complète sera F (y) = mF (<p) + «F (4) •+• pF etc. ; 
y étant la constante arbitraire , et cette intégrale pourra toujours 
être représentée par une équation algébrique, quel que soit le 
nombre des termes pourvu qu’il ne soit pas infini. 
Si on désigne par R (x) le radical f- £x-{~yx !i -\-J'æ 3 ~}~ejc i ), 
et par R (y) , R (z), etc. des radicaux semblables en j,Zj etc. ; si 
de plus m,n,p y etc. désignent des nombres entiers positifs ou 
négatifs , il est clair que l’équation 
_ mdx , ndy r pdz 
Ew‘ i "5(3ô + R(i) 
+ elc.. 
pourra toujours être réduite à la forme précédente , et qu’ainsi elle 
aura toujours une intégrale algébrique complète. 
Rien n’empêcherait de supposer que z et les variables suivantes 
fussent des fonctions algébriques données de a: et y, alors l’équation 
précédente ne renfermerait que deux variables , et malgré l’infinité 
de formes dont elle est susceptible , elle admettrait toujours une 
intégrale algébrique complète. C’est peut-être la seule manière de