DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 5 9 
Maintenant puisqu’on a P^ 1 = f 'rt, on aura une relation entre 
trois fonctions elliptiques, qui , avec celle qu’on a trouvée , offre 
ces deux résultats ; 
? = F-(*).[£■ '(«)] 
| = F‘ (c).[E' (¿)_(^i)F'(i)] ; 
d’où l’on voit que les fonctions de seconde espèce E 1 (<?),£*(£) 
peuvent, dans ce cas particulier , s’exprimer par les deux fonctions 
de première espèce F 1 (b), F 1 (c). A ces deux relations qui sont déjà 
fort remarquables, il faut en joindre une troisième F F‘(c), 
qui sera démontrée dans l’exemple suivant. 
EXEMPLE III. 
(4i). Soit proposé d’évaluer l’intégrale R zzzfdz (i—-3 3 ) % prise 
depuis 3 = 0 jusqu’à 3 = 1. 
On fera d’abord 1 — z 3 = Ç ^ , ce qui donnera la transformée 
R — 3+7) ^ intégrer depuis jr = o jusqu’à y = 00. Soit 
ensuite m = et m J = x % —« 1, on aura la nouvelle transformée 
R= ^/v 7 p^?+3)> C I u ’ il faUl iuté S m ’ de P uis ‘ r = 1 jusqu’à 
¿c = 00. Cette intégrale est, au coefficient près, la même que 
l’intégrale P de l’exemple précédent ; ainsi ayant égard aux limites 
de R, et faisant \/5 = n 9 on aura la valeur cherchée 
R, =w F ‘(% 
mais il y a une autre manière de trouver la valeur de R. 
Soit I —3 3 =^I —y) 5 on trouvera d’abord la transformée 
R = ^ > qu’il faut intégrer depuis j = 1 jusqu’à j = co. 
Soit ensuite ou aura R = ^ ’ n °"' 
velle formule qu’il faut intégrer depuis x = y/(/»—1) jusqu’à