(109). Considérons enfin la quantité P ;= z a ( 1 -f- jz) î_r —- z a+1 ~'\ 
dans laquelle nous supposerons à la fois a <^r et n -f- 1 >• r ; on 
Î06 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL, 
et qu’ainsi on a 
A 
z a+r ~'dz 
(i + 22 COS ô -j- Z 2 ) r 
- / 
T dz 
(i+z*) r 
r.r + 1 
-.2 COS 
i 
■4 C0S ‘ 8 fu 
z a+r dz 
(f+ Z 2 ) r+l 
z a+r+ 'dz 
Hz 
+ 2 2 ) r 
etc. ; 
ies intégrales du second membre pourront être évaluées par la 
formule qu’on vient de trouver pour le cas de 6 = j tt ; de sorte 
qu’en faisant pour abréger, F(£r—£ a) = <p (r) , 
« étant constant, on aura généralement 
/(■+> 
'dz 
+ 2Z COS 0-f-2 2 ) r 2 rr 
k[> « -^K'+i)+ 4 -^(-N)-etc.]. 
formule qui pourra se réduire ultérieurement au moyen de l’équa 
tion <p {x + 2) = x -. <p (æ). Soit pour abréger , 
M= . (r+2-O 
COS G 0 
COS^Ô 
+ 
i.2.3.4-5.6 
COS 3 0 
-(r a —cf) (r-f- 2 — æ* ) (r + 4—etc. , 
N=cos8-f--—5H-1 ~« a )4 
COS 5 0 
(r-J-i — «*)(r-{-3 — « 2 )-{-etc., 
1.2.3 V ' X.2.3.4-5 
on aura la formule générale 
Mr(ir-fia)rCir-ia) Nr(i4-|r+i«)r(i+ir-4«) 
/ô 
z a+r ~ l dz 
-f- 2ZC0S 
2Fr 
rr 
Quant aux suites désignées par M et N, leurs sommes sont connues 
lorsque r=i, et même lorsque r est un entier, puisqu’alors l’inté 
grale est donnée par la formule (f ) et par ses différentielles suc 
cessives prises par rapport à ô ; mais il reste à trouver ces sommes 
pour une valeur quelconque de r.