8 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 
On a ensuite, d’après l’équation (3), 
(p> ?) 
r 0-f-g) ? 
( v JL. a /0 — r( > + t?)lY 
KP ~r <1J j — r^-t-ç+r) > 
et celles-ci étant multipliées enlr’elles donnent 
( P .9)0> + 9,r) = f {g 
Si l’on observe maintenant que dans le second membre de cette 
équation deux des lettres p, <7, r, peuvent être échangées entradles 
à volonté, on en conclura cette nouvelle formule 
{p. ?) (/» + 7» '■)= {P, r ){p + r, q) = {q,r){c/-\-r,p), 
(5) 
laquelle contient une propriété fondamentale des fonctions (/?, <7). 
Ces propriétés, au reste, s’accordent avec celles que nous avons 
démontrées dans la deuxième partie, relativement à la fonction 
désignée par mais elles ont dans notre nouvelle notation une 
plus grande généralité, puisqu’elles ne sont pas restreintes à la 
supposition que p et <7 soient des nombres rationnels. 
(10). L’intégrale (7?, q) peut être déterminée exactement lorsque 
p-\-q= 1 ; en effet, considérons la formule 
(a, 1—à) = fx a ~'dx(i — x)~ a ; 
si l’on fait I —x = £ , ou X=: —~, l’intégrale aura pour trans- 
", laquelle devra être prise entre les limites 2=0, 
2^=00,. Or Euler a prouvé que cette dernière intégrale 
ainsi on aura généralement 
% 
sin av