5o8 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 
- ^ 3 -, etc, augmentent, d’une manière fort rapide, d’un terme 
au suivant. Cependant dans le même ordre k , les divers coefficiens 
ne peuvent passer un maximum après lequel ils décroissent 
continuellement, et finissent par être aussi petits qu’on voudra. 
On pourrait trouver une valeur assez approchée de " ? lorsque 
a est très-grand. Pour cela il faudrait faire usage de la formule (7) 
qui donne 
(48) 
P(X) 
r (A-f-71) 
r«r(A+ 
) r a 
oui-«?' 
n- 
-1 
n 
a 
A— 
1 ' A-J-x* (1 — a 2 ) n+I 
71— 1 . 71 2 11. 71-J- X 
1 .2 
+etc.J. 
c . £?V(i—a 2 ) 
Soit donc V-7—- 
da k 
’ A-f-x.A+2 ’ (1—a 2 / 
F {fi, v) , F (7/-, v) désignant une fonc- 
('*£)) 
lion connue de a et des exposans fz et v ; on aura en général : 
d k VCx) r (A-j-Tl) [ _ , . 71—1 71 „ , 
~ ^.[__FCA > n)+-—._.F(A+2,7H-l) 
71 1 . 71 2 71.71—j— I 
rfa* r7ir(A-f-] 
1.2 
.F (a+4; ra-f 2) -4-etc 
a 
A-f- 1 ,A-{-2 
Lorsque A est très-grand^ comme nous le supposons, cette suite 
est assez convergente dans ses premiers termes, pour qu’on puisse 
négliger les termes suivans ; la question est donc réduite à trouver 
la fonction F pour un ordre donné k , ce qui n’aura aucune difficulté 
tant que k sera d’un petit nombre d’unités. 
192. II ne sera pas inutile de présenter sous un même point de 
vue , les principales propriétés de la fonction P(A,/z), que nous 
avons démontrées dans ce chapitre. 
I. Celte fonction est purement algébrique lorsque n est un nombre 
entier positif ou négatif. Dans tout autre cas , les fonctions P ( A, n) 
forment un genre particulier de transcendantes, qui a de l’analogie 
avec les fonctions elliptiques complettes de la première et de la 
seconde espèce, et qui se réduit à ces fonctions lorsque 2n est un 
nombre impair. 
II. Si on considère les valeurs de P (A, n), qui répondent tant 
aux différentes valeurs du nombre entier A, qu'à toutes les valeurs 
de n qui ne diffèrent entr’elles que d’un nombre entier, toutes ces