DEUXIEME SUPPLÉMENT. * 9g 
il faut, en mettant <7“ au lieu de <7, remplacer en meme temps k, k f , 
K, K', par h, h', H, H'; ensuite on pourra mettre pour ces dernières 
* ., , - 1 — k 1 
quantités leur valeur en fonctions des premières, savoir, h = p, 
//— H = 1±A'k, H' = (i+Æ')K.'. Par ce moyen, la seconde 
formule sera exprimée en fonction de k, et Ton pourra de nouveau subs 
tituer <7* au lieu de <7, ce qui donnera une troisième formule relative au 
module A t , qui suit h. On verra ci-après des exemples de ces opérations, 
qui peuvent être faites, soit dans le sens des modules décroissans, comme 
on vient de l’indiquer, soit dans le sens inverse. 
124. Nous avons trouvé ci-dessus la formule 
1 — Lui 1=£ etc 
— 1+7- i-H 3 ’ i+<r ’ 
laquelle s’applique au module donné k) si on l’applique au module sui 
vant h, dans l’échelle dont l’indice est n, on aura 
(10) 
1 .q n 1 _ q^ n 
1 -f- q n * 1 + q 3n 
i —q 5n 
1+q 5 " 
etc. 
Cette formule peut servir à calculer, par approximation, le module h f 
au moyen du module donné k, dans l’échelle dont l’indice est «, ce qui 
dispenserait d’avoir recours à l’équation des modules. On aura semblable-“ 
ment la formule 
00 ✓*'.= 
_ 1 — q n 1 — q n 
J. » â 
1 ■+• q n 1 + q n 1 -f- q n 
. etc. 
qui servira à calculer le terme k t de la même échelle, qui précède le 
module donné k. Ainsi, par ces deux formules, on peut connaître suc 
cessivement tous les termes d’une même échelle dont l’indice est n, tant 
dans l’ordre croissant que dans l’ordre décroissant, et l’on peut même 
supposer que n est un nombre rationnel quelconque. 
A j_ 
De plus, comme l’on peut, au lieu de <7", mettre £<7", £ étant une racine 
imaginaire de l’équation 6“ = 1, on voit que n étant un nombre impair 
4 
quelconque, la seconde formule donnera n valeurs différentes de y/k'„ et 
par conséquent n valeurs du module Æ,, qui précède k. Donc, on aura 
de cette manière /z-f-i transformations du module /¿, et par conséquent 
n + 1 transformations de la fonction donnée E(Æ, <p), ce qui s’accorde, 
tant avec les deux exemples connus pour les cas de rc = 3 et « = 5, 
i3..