152 FONCTIONS ELLIPT1QLES,
pourra se déterminer algébriquement par des arcs de cercle au moyen
de l’équation
/ i \ | sin « COS ci l7t7 -
n'=m(iW.
On pourra donc, en donnant à m des valeurs rationnelles assez simples,
trouver différentes formules plus ou moins dignes d’attention pour expri
mer les valeurs correspondantes de fi'; mais nous ne nous arrêterons pas
à en donner des exemples.
La théorie contenue dans ce paragraphe nous a fait retrouver, par des
moyens nouveaux, toutes les propriétés auxquelles nous étions parvenus
dans le cbap. XX11I du tome 1 er , pour les fonctions à paramètre circu
laire. Ainsi, nous avons trouvé, i°. que la fonction type de celte es
pèce , représentée par fl ( — i -f- k'* sin* et, k , <p ), peut être exprimée
par une autre fonction semblable fl(— i -f- k* sin* <p, kl, a); de sorte
qu’on peut échanger entre eux l’angle du paramètre et et l’ampli
tude <p , pourvu que le module k soit remplacé par son complément kl.
2°. Que la fonction complète à paramètre circulaire peut toujours s’expri
mer par des fonctions de la première et de la seconde espèce, et qu’il
en est de même d’une fonction non complète , mais dont l’amplitude (p
satisfait à l’équation F ( k, <p ) = mJl'k , m étant un nombre rationnel
quelconque.
De plus, les formules auxquelles nous sommes parvenus clans ces nou
velles recherches nous ont fait découvrir deux nouvelles transcendantes fl,
fl', représentant des arcs de cercle, cpii se déduisent aisément l’une de
l’autre, et dont l’usage est de faciliter autant qu’il est possible la détermina
tion numérique de toute fonction proposée fl(— i -f- k f% sin* a, k, <p) , jus
qu’à tel degré d’approximation qu’on voudra. On choisira, pour cet effet,
entre les deux formules (y5) et (78) celle qui contient la plus conver
gente des deux fonctions fl et fl'.
Les formules dont nous parlons sont vraisemblablement ce que l’ana-
Ivse peut offrir de plus parfait pour l’approximation dos fonctions à pa
ramètre circulaire ; elles paraissent préférables à toutes celles que nous
avons données pour le même objet, et elles n’exigent de calculs prélimi
naires que ceux qui peuvent être faits aisément, soit par la table I r % soit
par la table IX.
