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FONCTIONS ELLIPTIQUES, 
§ XI. Solution d’une difficulté relative à la démonstration 
de l’équation (44) de l’art, 156. 
ig5. Nous sommes parvenus, dans l’article cité, à une équation dont les 
deux membres étaient des fonctions semblables , l’une de x, l’autre de 
x celte équation pouvait être représentée par 0.r:=fl>(a: + ;4 
Nous en avons conclu que chaque membre est une quantité constante ; 
et comme Q>x s’évanouit, ainsi que <D (x -f- tt), lorsque x = o , nous 
avons cru pouvoir faire en général $x = o, ce qui est l’équation (44)- 
On peut opposer à celte conclusion que deux fonctions telles que <Dx 
et [x -f - Îtt) , pourraient être égales pour toutes valeurs de x, même 
devenir nulles simultanément pour un certain nombre déterminé de va 
leurs de x, sans cependant se réduire à zéro pour une valeur quelconque 
de x. Par exemple , si la fonction <Lr était composée d’un ou plusieurs 
termes de la forme A sin /±mx, m étant un nombre entier, on pourrait 
substituer x -f- à x, sans changer la fonction j de sorte qu’on aurait 
toujours $>x = O (x -f- { 7T) : de plus, les deux fonctions s’évanouiraient 
pour toute valeur de /¡x égale à un multiple de -rr, et cependant on n’au 
rait point en général <Lr = o. 
Pour résoudre celte difficulté, nous aurons recours aux formules de du 
plication que nous avons rapportées dans l’art. i5g; et d’abord il faut 
prendre, dans l’art. i5i , la formule (3g), où l’on mettra 2X à la place de 
x ? ce qui donnera 
C'Ç)?.x = — A Le. 
ainsi, en substituant la valeur 
1 
Ax = k 4 Sx sin <p, nous aurons 
C lr &2X = ©Le ( i — k* sin 4 <p). 
Cette équation, étant différentiée logarithmiquement, donne 
d&o.x 4i/0* 4* a sin 3 <p cos ip r 
fc 2jf €)x i—k 2 sin' 
Si l’on fait ensuite F^ =2F<p, on trouvera aisément, par les formules de 
l’art. i58, que l’équation précédente peut être mise sous la forme 
11 en résulte par conséquent 0>x = \ (¿ix), seconde propriété générale 
des fonctions O, qui doit être combinée avec la propriété déjà connue